Hedges-g-Glass-Delta-Rechner

Verwenden Sie Hedges' g oder Glass's Delta, wenn Sie Alternativen zu Cohens d benötigen. Hedges' g korrigiert die Verzerrung bei kleinen Stichproben, während Glass's Delta nur die Standardabweichung der Kontrollgruppe verwendet – nützlich, wenn Behandlungen die Variabilität beeinflussen könnten.

Was sind diese Effektgrößen?

Alle drei messen die standardisierte Differenz zwischen zwei Gruppenmittelwerten:

Cohens d

$d = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_{pooled}}$

Verwendet die gepoolte Standardabweichung beider Gruppen.

Hedges' g

$g = d \times J$

Wobei $J = 1 - \frac{3}{4(n_1 + n_2) - 9}$ der Verzerrungskorrekturfaktor ist.

Glass's Delta (Δ)

$\Delta = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_{Kontrolle}}$

Verwendet nur die Standardabweichung der Kontrollgruppe.

Warum verschiedene Maße?

Cohens d

• Am häufigsten verwendet und weithin bekannt
• Leicht nach oben verzerrt bei kleinen Stichproben
• Setzt gleiche Varianzen voraus

Hedges' g

• Korrigiert Cohens d für Verzerrung bei kleinen Stichproben
• Bevorzugt für Meta-Analysen
• Nahezu identisch mit d bei großen Stichproben

Glass's Delta

• Geeignet, wenn die Behandlung die Variabilität beeinflusst
• Verwendet die unbehandelte (Kontroll-) Gruppe als Referenz
• Vermeidet die Kontamination des Nenners durch Behandlungseffekte

Der Verzerrungskorrekturfaktor

Cohens d überschätzt den Populationseffekt, besonders bei kleinen Stichproben. Hedges' Korrektur:

$J = 1 - \frac{3}{4(n_1 + n_2 - 2) - 1}$

Oder näherungsweise:

$J \approx 1 - \frac{3}{4N - 9}$

Für N > 50 ist der Unterschied vernachlässigbar.

Beispielrechnungen

Daten:

• Behandlung: n₁ = 25, M₁ = 75, SD₁ = 12
• Kontrolle: n₂ = 25, M₂ = 68, SD₂ = 10

Gepoolte SD: $s_{pooled} = \sqrt{\frac{(24)(12^2) + (24)(10^2)}{48}} = \sqrt{\frac{3456 + 2400}{48}} = 11,07$

Cohens d: $d = \frac{75 - 68}{11,07} = 0,632$

Hedges' g: $J = 1 - \frac{3}{4(50) - 9} = 1 - \frac{3}{191} = 0,984$ $g = 0,632 \times 0,984 = 0,622$

Glass's Delta: $\Delta = \frac{75 - 68}{10} = 0,70$

Wann welches Maß verwenden

Konfidenzintervalle

Für Cohens d und Hedges' g

Standardfehler:

$SE_d = \sqrt{\frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2} + \frac{d^2}{2(n_1 + n_2)}}$

95% KI: $d \pm 1,96 \times SE_d$

Für Hedges' g multiplizieren Sie SE mit J oder berechnen Sie direkt mit der korrigierten Varianzformel.

Für Glass's Delta

$SE_\Delta = \sqrt{\frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2} + \frac{\Delta^2}{2(n_2 - 1)}}$

Beachten Sie, dass der Nenner n₂ - 1 verwendet, da die Varianz nur aus der Kontrollgruppe geschätzt wird.

Interpretation der Effektgrößen

Cohens Richtwerte gelten für alle drei:

Aber der Kontext ist wichtig:

• In der Bildung kann d = 0,4 praktisch bedeutsam sein
• In der Medizin könnte selbst d = 0,2 in großem Maßstab Leben retten
• In der Psychologie liegen die meisten Effekte bei d = 0,2-0,5

Umrechnung zwischen den Maßen

Wenn die Varianzen gleich sind, gilt d ≈ Δ.

Wenn die Varianzen unterschiedlich sind: $d = \Delta \times \frac{s_{Kontrolle}}{s_{pooled}}$

Von d zu g: $g = d \times J$

Für gepaarte Daten

Hedges' g für gepaarte Daten:

$g = \frac{\bar{D}}{s_D} \times J_{gepaart}$

Wobei $\bar{D}$ die mittlere Differenz ist, $s_D$ die SD der Differenzen, und:

$J_{gepaart} = 1 - \frac{3}{4n - 5}$

Überlegungen zur Meta-Analyse

Hedges' g ist Standard für Meta-Analysen, weil:

1. Weniger verzerrt über verschiedene Stichprobengrößen
2. Vergleichbar über Studien hinweg
3. Standardfehlerformeln sind gut etabliert
4. Die meiste Meta-Analyse-Software erwartet g

Beim Kombinieren von Studien: $g_{gepooled} = \frac{\sum w_i g_i}{\sum w_i}$

Wobei die Gewichte $w_i = 1/SE_i^2$.

Häufige Szenarien

Szenario 1: Behandlung verändert die Variabilität

Psychotherapie erhöht oft die Ergebnisvariabilität (manche Menschen verbessern sich dramatisch, andere sprechen nicht an). Verwenden Sie Glass's Δ mit der SD der Kontrollgruppe.

Szenario 2: Kleine Pilotstudie

Bei n = 15 pro Gruppe verwenden Sie Hedges' g, um eine Überschätzung des Effekts zu vermeiden.

Szenario 3: Vergleich mit historischer Kontrolle

Wenn die Kontrollgruppe aus historischen Daten mit gut etablierter SD stammt, ist Glass's Δ sinnvoll.

Szenario 4: Beitrag zur Meta-Analyse

Konvertieren Sie Ihre Ergebnisse zu Hedges' g für die Aufnahme in Meta-Analysen.

Beziehung zu anderen Statistiken

Aus der t-Statistik: $d = t \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$

Aus der F-Statistik (zwei Gruppen): $d = \sqrt{F \left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}$

Zu r (Korrelation): $r = \frac{d}{\sqrt{d^2 + 4}}$

Annahmen

1. Unabhängige Stichproben (für Between-Group-Versionen)
2. Normalverteilungen (für genaue SEs)
3. Gleiche Varianzen (für Cohens d; Glass's Δ lockert dies)

Häufige Fehler

Verwendung von d bei winzigen Stichproben

Cohens d kann bei n < 20 stark verzerrt sein. Verwenden Sie bei kleinen Stichproben immer Hedges' g.

Ignorieren von Varianzunterschieden

Wenn eine Gruppe eine viel größere Varianz hat, verdeckt die gepoolte SD dies. Erwägen Sie Glass's Δ.

Vergessen der Richtung

Effektgrößen können negativ sein. Geben Sie das Vorzeichen an oder zeigen Sie klar, welche Gruppe höher war.

Richtwerte als Absoluta behandeln

„Klein/mittel/groß" sind grobe Orientierungshilfen. Ein „kleiner" Effekt kann im Kontext wichtig sein.

Historischer Kontext

Jacob Cohen entwickelte Cohens d in den 1960er Jahren und etablierte die Berichterstattung von Effektgrößen in den Verhaltenswissenschaften.

Larry Hedges entwickelte die Verzerrungskorrektur in den 1980er Jahren, motiviert durch die Anforderungen der Meta-Analyse.

Gene Glass schlug die Verwendung der SD der Kontrollgruppe in den 1970er Jahren vor, insbesondere für die Bildungsforschung.

Verwandte Berechnungen

• Cohens d Rechner — Standard-Effektgröße
• Eta-Quadrat-Rechner — ANOVA-Effektgrößen
• Zwei-Stichproben-t-Test — Hypothesentest
• Teststärke-Rechner — Stichprobengröße mit Effektgröße
• Gepaarter t-Test — Abhängige Gruppen

Zusammenfassung

Hedges' g korrigiert Cohens d für die Verzerrung bei kleinen Stichproben – unverzichtbar für Meta-Analysen und Studien mit n < 50. Glass's Delta verwendet nur die SD der Kontrollgruppe, geeignet wenn die Behandlung die Variabilität beeinflusst. Alle drei werden ähnlich interpretiert: 0,2 = klein, 0,5 = mittel, 0,8 = groß. Verwenden Sie standardmäßig Hedges' g für Publikationen; verwenden Sie Glass's Δ, wenn Gruppen aufgrund von Behandlungseffekten ungleiche Varianzen haben.