McNemar-Test-Rechner

Verwenden Sie den McNemar-Test, wenn Sie dieselben Personen zweimal mit einem Ja/Nein-Ergebnis messen und wissen möchten, ob sich der Anteil verändert hat. Typische Szenarien sind Tests, ob sich Meinungen nach einem Ereignis verändert haben, ob eine Behandlung den Status einer Person von positiv zu negativ (oder umgekehrt) verändert hat, oder ob gepaarte Probanden sich in einem binären Merkmal unterscheiden. Er ist das Äquivalent für gepaarte Daten zum Vergleich zweier Anteile.

Was ist der McNemar-Test?

Der McNemar-Test vergleicht gepaarte Anteile – speziell für Vorher-Nachher-Designs oder gepaarte Stichproben mit binären Ergebnissen.

Beantwortete Frage: „Hat sich der Anteil von vorher zu nachher verändert?" oder „Zeigen gepaarte Stichproben unterschiedliche Antwortraten?"

Beispiele:

• Hat sich der Anteil der Wähler, die einen Kandidaten unterstützen, nach einer Debatte verändert?
• Testen Patienten vor und nach einer Behandlung mit unterschiedlichen Raten positiv?
• Ist bei gepaarten Fall-Kontroll-Paaren die Exposition bei den Fällen häufiger?

Die 2×2-Tabelle für gepaarte Daten

Anders als beim Chi-Quadrat-Test (der unabhängige Gruppen vergleicht) verwendet der McNemar-Test gepaarte Beobachtungen:

• a: Beide Male Ja (konkordant)
• d: Beide Male Nein (konkordant)
• b: Wechsel von Ja zu Nein (diskordant)
• c: Wechsel von Nein zu Ja (diskordant)

Der Test konzentriert sich nur auf diskordante Paare (b und c).

Die Teststatistik

Standard-McNemar-Test

$\chi^2 = \frac{(b - c)^2}{b + c}$

Folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad.

Mit Kontinuitätskorrektur (Edwards)

$\chi^2 = \frac{(|b - c| - 1)^2}{b + c}$

Empfohlen, wenn die erwarteten Häufigkeiten klein sind.

Exakter Test (kleine Stichproben)

Bei $b + c < 25$ verwenden Sie den exakten Binomialtest:

Unter der Nullhypothese gilt $b \sim \text{Binomial}(b + c, 0{,}5)$

Beispielrechnung

Szenario: 100 Wähler wurden vor und nach einer Debatte befragt.

• a = 40 (beide Male Zustimmung)
• b = 10 (Wechsel von Zustimmung zu Ablehnung)
• c = 25 (Wechsel von Ablehnung zu Zustimmung)
• d = 25 (beide Male Ablehnung)

Diskordante Paare: b + c = 35

Teststatistik:

$\chi^2 = \frac{(10 - 25)^2}{35} = \frac{225}{35} = 6{,}43$

p-Wert: Für $\chi^2 = 6{,}43$ mit df = 1: $p = 0{,}011$

Schlussfolgerung: Signifikante Veränderung der Zustimmung ($p = 0{,}011$). Die Zustimmung stieg (mehr wechselten zur Zustimmung als davon weg).

Interpretation

Signifikantes Ergebnis

Der Anteil hat sich zwischen den Bedingungen verändert (oder Fälle unterscheiden sich von Kontrollen bei gepaarten Stichproben).

Richtung: Vergleichen Sie b mit c

• Wenn c > b: Anteil gestiegen
• Wenn b > c: Anteil gesunken

Nicht signifikantes Ergebnis

Kein Hinweis auf eine Veränderung des Anteils.

Konfidenzintervall für die Differenz

Die Differenz der Anteile:

$\hat{p}_2 - \hat{p}_1 = \frac{c - b}{n}$

Standardfehler:

$SE = \frac{\sqrt{b + c - (b-c)^2/n}}{n}$

95%-KI:

$(\hat{p}_2 - \hat{p}_1) \pm 1{,}96 \times SE$

Aus dem Beispiel:

• Anteilsänderung: (25 - 10)/100 = 0,15 (15% Anstieg)
• SE ≈ 0,056
• 95%-KI: [0,04; 0,26]

Odds Ratio für gepaarte Stichproben

$OR = \frac{c}{b}$

Aus dem Beispiel: OR = 25/10 = 2,5

Interpretation: „Wähler waren 2,5-mal wahrscheinlicher zur Zustimmung zu wechseln als davon weg."

Konfidenzintervall für OR

$95\% \text{ KI} = OR^{1 \pm 1{,}96/\sqrt{b+c}}$

Anwendungen

Medizinische Forschung

Behandlungsansprechen:

Hat die Behandlung die Symptome reduziert? Test mit b = 3, c = 42.

Gepaarte Fall-Kontroll-Studien

Exposition bei gepaarten Stichproben:

Ist die Exposition bei Fällen häufiger? OR = 35/10 = 3,5.

Umfrageforschung

Meinungsänderung:

Vorher-Nachher-Umfragen, bei denen dieselben Personen zweimal gemessen werden.

Diagnostische Tests

Übereinstimmung zwischen Tests:

Haben die Tests unterschiedliche Positivraten? Konzentration auf diskordante Paare.

Exakter McNemar-Test

Für kleine Stichproben (b + c < 25) verwenden Sie den exakten Binomialtest:

$p = 2 \times \sum_{k=0}^{\min(b,c)} \binom{b+c}{k}(0{,}5)^{b+c}$

Oder verwenden Sie statistische Software für den exakten p-Wert.

McNemar-Bowker-Test (Erweiterungen)

Für Tabellen größer als 2×2 (mehrere Kategorien) erweitert der McNemar-Bowker-Symmetrietest das Konzept.

Er testet, ob $p_{ij} = p_{ji}$ für alle Kategoriepaare gilt.

Annahmen

Gepaarte/Verbundene Daten

Jede Beobachtung im „Vorher" entspricht genau einer Beobachtung im „Nachher".

Binäres Ergebnis

Die Ergebnisvariable hat genau zwei Kategorien.

Unabhängige Paare

Verschiedene Paare sind voneinander unabhängig.

Zufallsstichprobe

Paare werden zufällig aus der Population ausgewählt.

Häufige Fehler

Verwendung des Chi-Quadrat-Tests stattdessen

Der Standard-Chi-Quadrat-Test behandelt Daten als unabhängig. Für gepaarte Daten müssen Sie den McNemar-Test verwenden.

Einbeziehung konkordanter Paare

Nur diskordante Paare (b und c) liefern Informationen. Konkordante Paare (a und d) beeinflussen den Test nicht.

Kleine Stichprobe ohne exakten Test

Wenn b + c < 25, ist die Chi-Quadrat-Approximation ungenau. Verwenden Sie den exakten Test.

Verwechslung der Richtung

b = „Wechsel von Ja zu Nein" und c = „Wechsel von Nein zu Ja". Seien Sie klar darüber, welches welches ist.

Vergleich mit verwandten Tests

Effektstärke

Odds Ratio

$OR = \frac{c}{b}$

Differenz der Anteile

$\Delta p = \frac{c - b}{n}$

Direkt interpretierbar als Prozentpunktänderung.

Ergebnisse berichten

APA-Format:

„Der McNemar-Test zeigte einen signifikanten Anstieg der Zustimmung für den Kandidaten nach der Debatte, χ²(1) = 6,43, p = 0,011. Die Zustimmung stieg um 15 Prozentpunkte (95%-KI [4%; 26%]), mit einem Odds Ratio von 2,5 für den Wechsel zur Zustimmung gegenüber dem Wechsel davon weg."

Historischer Kontext

Quinn McNemar führte diesen Test 1947 für psychologische Forschung ein, die Vorher-Nachher-Messungen an denselben Probanden umfasste.

Der Test füllte eine wichtige Lücke – Forscher brauchten eine Methode zur Analyse gepaarter kategorialer Daten, die die Abhängigkeitsstruktur berücksichtigt.

Verwandte Berechnungen

• Chi-Quadrat-Test — Für unabhängige Gruppen
• Exakter Fisher-Test — Exakter Test für unabhängige Gruppen
• Vorzeichentest — Für gepaarte ordinale Daten
• Gepaarter t-Test — Für gepaarte stetige Daten

Zusammenfassung

Der McNemar-Test vergleicht gepaarte binäre Ergebnisse und konzentriert sich auf diskordante Paare, bei denen sich die Antwort geändert hat. Berechnen Sie $\chi^2 = (b-c)^2/(b+c)$, wobei b und c die Anzahl der diskordanten Paare sind. Verwenden Sie den exakten Test für kleine Stichproben (b + c < 25). Berichten Sie die Chi-Quadrat-Statistik, den p-Wert, die Anteilsdifferenz mit Konfidenzintervall und das Odds Ratio. Der Test ist unverzichtbar für Vorher-Nachher-Studien und gepaarte Fall-Kontroll-Designs mit binären Ergebnissen.