Stichprobengröße-Anteile-Rechner

Was ist die Stichprobengrößenberechnung für Anteile?

Beim Vergleich von zwei Erfolgsraten (Konversionsraten, Heilungsraten, Bestehensquoten) benötigen Sie genügend Probanden, um einen Unterschied zuverlässig erkennen zu können. Dieser Rechner bestimmt die Stichprobengröße für den Vergleich zweier Anteile.

Eingabe:

• Ausgangsanteil (p₁)
• Erwarteter Anteil nach Behandlung (p₂)
• Signifikanzniveau (α)
• Gewünschte Teststärke

Ausgabe: Erforderliche Stichprobengröße pro Gruppe

Die Formel

Für einen Zwei-Anteile-z-Test mit gleichen Gruppen:

$n \approx \frac{\left[z_{1-\alpha/2} \sqrt{2\bar{p}(1-\bar{p})} + z_{1-\beta} \sqrt{p_1(1-p_1) + p_2(1-p_2)}\right]^2}{(p_1 - p_2)^2}$

Wobei $\bar{p} = (p_1 + p_2)/2$ der Durchschnittsanteil ist.

Dies ist für die praktische Berechnung vereinfacht — der Rechner übernimmt die Komplexität.

Praktische Beispiele

Klinische Studie

„Erhöht die neue Behandlung die Heilungsrate von 60 % auf 75 %?"

p₁ = 0,60, p₂ = 0,75, Differenz = 15 Prozentpunkte α = 0,05, Teststärke = 0,80

n ≈ 120 pro Gruppe

Marketing-A/B-Test

„Verbessert die neue Landingpage die Konversion von 4 % auf 5 %?"

p₁ = 0,04, p₂ = 0,05, Differenz = 1 Prozentpunkt α = 0,05, Teststärke = 0,80

n ≈ 3.500 pro Gruppe

Hinweis: Kleine absolute Unterschiede bei Anteilen nahe 0 oder 1 erfordern sehr große Stichproben.

Bildungsforschung

„Verbessert die Intervention die Bestehensquote von 70 % auf 80 %?"

p₁ = 0,70, p₂ = 0,80, Differenz = 10 Prozentpunkte α = 0,05, Teststärke = 0,80

n ≈ 200 pro Gruppe

Schlüsselfaktoren, die die Stichprobengröße beeinflussen

Ausgangsanteil

Anteile nahe 0,5 haben die maximale Varianz und erfordern größere Stichproben.

Gleiche absolute Differenz, unterschiedliche Stichprobenanforderungen.

Effektgröße (Differenz)

Kleinere Unterschiede erfordern größere Stichproben:

Teststärke und Signifikanzniveau

Höhere Standards erfordern mehr Probanden.

Einseitig vs. Zweiseitig

Zweiseitig (Standard): Testet, ob sich die Anteile in einer der beiden Richtungen unterscheiden.

Einseitig: Testet speziell, ob p₂ > p₁. Erfordert weniger Probanden, ist aber nur mit starker vorheriger Begründung angemessen.

Ungleiche Zuteilung

Manchmal sind ungleiche Gruppen sinnvoll:

• Kontrolle ist günstig, Behandlung ist teuer
• Ethische Einschränkungen
• Praktische Limitierungen

Für das Zuteilungsverhältnis r = n₂/n₁:

Optimal für Effizienz: r = 1 (gleiche Gruppen) Wenn r ≠ 1, erhöht sich die Gesamtstichprobe.

Praktische Überlegungen

Schwund

Planen Sie für Studienabbrüche:

n_rekrutiert = n_benötigt / (1 - Abbruchrate)

Minimale Zellhäufigkeiten

Stellen Sie sicher, dass erwartete Erfolge und Misserfolge die Testannahmen erfüllen:

• n × p ≥ 5
• n × (1-p) ≥ 5

Sehr kleine oder sehr große Anteile können exakte Tests erfordern.

Clusterung

Wenn Probanden nicht unabhängig sind (Schüler in Klassen, Patienten in Kliniken), unterschätzen Standardformeln das erforderliche n. Wenden Sie Designeffekte an.

Relative vs. Absolute Differenz

Absolute Differenz: p₂ - p₁ „Verbesserung von 10 % auf 15 %" = 5 Prozentpunkte Verbesserung

Relative Differenz: (p₂ - p₁)/p₁ „50 % relative Verbesserung" (10 % auf 15 %)

Die Stichprobengröße hängt von der absoluten Differenz ab. Die gleiche relative Verbesserung erfordert je nach Ausgangswert sehr unterschiedliche Stichproben:

• 1 % auf 1,5 % (50 % relativ): n ≈ 5.400 pro Gruppe
• 40 % auf 60 % (50 % relativ): n ≈ 85 pro Gruppe

Historischer Kontext

Stichprobengrößenformeln für Anteile wurden zusammen mit den Hypothesentest-Rahmenwerken im frühen 20. Jahrhundert entwickelt.

Joseph Fleiss lieferte umfassende Formeln in seinem einflussreichen Lehrbuch „Statistical Methods for Rates and Proportions" (1973).

Die Entwicklung von A/B-Test-Plattformen hat diese Berechnungen zu einer Routine in der Produktentwicklung und im Marketing gemacht.

Häufige Fehler

Verwendung von Relativ statt Absolut

Eine „20 % Verbesserung" könnte 10 % auf 12 % (2 Pp) oder 50 % auf 60 % (10 Pp) bedeuten. Klären Sie, was gemeint ist.

Ignorieren der Ausgangsvariabilität

Anteile nahe 0 oder 1 haben weniger Spielraum für Veränderungen, was die Berechnungen beeinflusst.

Nichtberücksichtigung multipler Tests

Bei Durchführung vieler Tests passen Sie für multiple Vergleiche an oder erhöhen Sie die Teststärke einzelner Tests.

Verwandte Berechnungen

• Stichprobengröße für zwei Mittelwerte — Für kontinuierliche Ergebnisse
• A/B-Test-Stichprobengrößenrechner — Spezialisiert für Web-Tests
• Teststärkerechner — Bei gegebenem n die Teststärke finden
• KI für Differenz der Anteile — Ergebnisse analysieren
• Odds-Ratio-Rechner — Alternatives Effektmaß

Zusammenfassung

Die Stichprobengröße für den Vergleich von Anteilen hängt vom Ausgangsanteil, der erwarteten Differenz, dem Signifikanzniveau und der Teststärke ab. Kleine Unterschiede und Anteile nahe 50 % erfordern die größten Stichproben. Der Rechner übernimmt die komplexe Formel, aber das Verständnis der Eingaben — realistische Effektgrößen, angemessene Signifikanzniveaus und ausreichende Teststärke — ist essenziell für die Planung von Studien, die bedeutsame Unterschiede erkennen können, wenn sie existieren.