Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test-Rechner

Was ist der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test?

Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test vergleicht zwei verbundene Messungen (gepaarte Daten), wenn Normalverteilung nicht angenommen werden kann. Er ist die nicht-parametrische Alternative zum gepaarten t-Test.

Beantwortete Frage: "Gibt es einen systematischen Unterschied zwischen gepaarten Messungen?"

Beispiele:

• "Haben sich Patienten nach der Behandlung verbessert?" (vorher-nachher bei denselben Patienten)
• "Bewerten Menschen Produkt A hoher als Produkt B?" (dieselben Personen bewerten beide)
• "Unterscheiden sich Montagsmessungen von Freitagsmessungen?" (dieselben Probanden an beiden Tagen)

Warum Vorzeichen-Rang?

Der Test verwendet beides:

Vorzeichen: Richtung der Veranderung (positiv oder negativ) Rang: Grosse der Veranderung (wie gross)

Dies macht ihn machtiger als den Vorzeichentest (der die Grosse ignoriert), wahrend er robust gegenuber Nicht-Normalitat bleibt.

Funktionsweise

Schritt 1: Differenzen berechnen

Schritt 2: Null-Differenzen ausschliessen

Proband 4 hat Differenz = 0. Aus der Analyse ausschliessen.

n = 5 (verbleibende Probanden)

Schritt 3: Absolutbetrage der Differenzen rangieren

| Proband | Differenz | |Differenz| | Rang | |---------|-----------|-------------|------| | 2 | +2 | 2 | 1 | | 5 | -6 | 6 | 2 | | 1 | -7 | 7 | 3 | | 3 | -9 | 9 | 4,5 | | 6 | -9 | 9 | 4,5 |

Gebundene Werte (beide 9) erhalten den Durchschnittsrang (4+5)/2 = 4,5.

Schritt 4: Positive und negative Range summieren

W⁺ = 1 (Summe der Range fur positive Differenzen) W⁻ = 2 + 3 + 4,5 + 4,5 = 14 (Summe der Range fur negative Differenzen)

Schritt 5: Teststatistik berechnen

W = min(W⁺, W⁻) = 1

Schritt 6: P-Wert bestimmen

Vergleichen Sie W mit kritischen Werten fur n = 5, oder verwenden Sie die Normalapproximation fur grossere Stichproben.

Fur n = 5, W = 1: p ≈ 0,063 (zweiseitig)

Schlussfolgerung: Grenzwertige Evidenz, dass die Nachher-Werte niedriger sind (p = 0,063).

Alternative Formulierungen

Verschiedene Software kann berichten:

W (wie oben): Minimum von W⁺ und W⁻ T: Dasselbe wie W (andere Notation) V: Nur Summe der positiven Range (W⁺) z: Normalapproximations-Statistik

Alle fuhren zum selben p-Wert.

Normalapproximation

Fur n > 25 (manche sagen n > 10):

$z = \frac{W - \mu_W}{\sigma_W}$

Wobei:

• $\mu_W = \frac{n(n+1)}{4}$
• $\sigma_W = \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}$

Mit Bindungskorrektur:

$\sigma_W = \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24} - \frac{\sum t(t^2-1)}{48}}$

wobei t = Anzahl der Bindungen bei jedem Rang.

Umgang mit Bindungen

Bindungen bei Differenzen (Nullen): Aus der Analyse ausschliessen. Einige Methoden beziehen sie mit spezieller Behandlung ein.

Bindungen bei Absolutbetragen der Differenzen: Durchschnittsrange zuweisen (wie im Beispiel gezeigt).

Bindungskorrektur auf den Standardfehler anwenden.

Beispiel: Behandlungseffekt

Szenario: Schmerzwerte (0-10) vor und nach der Therapie bei 12 Patienten.

| Patient | Vorher | Nachher | Diff | |Diff| | Rang | Vorzeichen-Rang | |---------|--------|---------|------|--------|------|-----------------| | 1 | 7 | 4 | -3 | 3 | 5,5 | -5,5 | | 2 | 8 | 6 | -2 | 2 | 3 | -3 | | 3 | 5 | 6 | +1 | 1 | 1,5 | +1,5 | | 4 | 9 | 5 | -4 | 4 | 8,5 | -8,5 | | 5 | 6 | 5 | -1 | 1 | 1,5 | -1,5 | | 6 | 8 | 3 | -5 | 5 | 10,5 | -10,5 | | 7 | 7 | 7 | 0 | - | - | (ausgeschlossen) | | 8 | 9 | 6 | -3 | 3 | 5,5 | -5,5 | | 9 | 6 | 4 | -2 | 2 | 3 | -3 | | 10 | 8 | 7 | -1 | 1 | 1,5 | -1,5 | | 11 | 7 | 3 | -4 | 4 | 8,5 | -8,5 | | 12 | 8 | 3 | -5 | 5 | 10,5 | -10,5 |

n = 11 (ohne Patient 7)

W⁺ = 1,5 W⁻ = 5,5 + 3 + 8,5 + 1,5 + 10,5 + 5,5 + 3 + 1,5 + 8,5 + 10,5 = 58,5

W = 1,5

P-Wert: p < 0,01

Schlussfolgerung: Signifikante Reduktion der Schmerzen nach der Therapie.

Effektstarke

Rangbiseriale Korrelation fur verbundene Stichproben:

$r = 1 - \frac{4W}{n(n+1)}$

Oder: $r = \frac{W^+ - W^-}{n(n+1)/2}$

Wann den Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test verwenden

Geeignet

• Gepaarte/verbundene Daten
• Nicht-normalverteilte Differenzen
• Ordinale Daten
• Kleine Stichproben mit unbekannter Verteilung
• Daten mit Ausreissern

Nicht geeignet

• Unabhangige Gruppen (verwenden Sie Mann-Whitney)
• Mehr als zwei Bedingungen (verwenden Sie den Friedman-Test)
• Stetiges Ergebnis bei vorliegender Normalitat (gepaarter t-Test ist machtiger)

Vergleich mit dem gepaarten t-Test

Vergleich mit dem Vorzeichentest

Anwendungen

Medizinische Forschung

• Vorher-Nachher-Behandlungsvergleiche
• Crossover-Studien
• Selbstkontrollstudien

Psychologie

• Innersubjekt-Experimente
• Test-Retest-Vergleiche
• Interventionseffekte

Qualitatskontrolle

• Vorher-Nachher-Prozessanderungen
• Gepaarte Messungen von verschiedenen Instrumenten

Konsumforschung

• Gepaarte Praferenztests
• Bewertungsvergleiche fur dieselben Befragten

Annahmen

Gepaarte Daten

Jede Beobachtung in einer Bedingung ist mit einer spezifischen Beobachtung in der anderen gepaart.

Unabhangigkeit der Paare

Verschiedene Paare sind unabhangig (die Differenz eines Probanden beeinflusst nicht die eines anderen).

Stetige und symmetrische Differenzen

Die Verteilung der Differenzen sollte symmetrisch um ihren Median sein.

Hinweis: Weniger streng als die Normalitatsforderung des gepaarten t-Tests.

Ordinalskala (Minimum)

Differenzen konnen sinnvoll rangiert werden.

Haufige Fehler

Verwendung fur unabhangige Gruppen

Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test ist fur gepaarte Daten. Verwenden Sie Mann-Whitney fur unabhangige Gruppen.

Nullen nicht ausschliessen

Null-Differenzen sollten ausgeschlossen (oder speziell behandelt) werden.

Verwechslung mit dem Wilcoxon-Rangsummentest

"Wilcoxon-Vorzeichen-Rang" = gepaarte Daten "Wilcoxon-Rangsumme" = unabhangige Gruppen (= Mann-Whitney)

Symmetrieannahme ignorieren

Bei stark asymmetrischen Differenzen ist die Interpretation kompliziert.

Ergebnisse berichten

APA-Format:

"Ein Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test zeigte, dass die Schmerzwerte nach der Therapie (Mdn = 4,5) signifikant niedriger waren als vorher (Mdn = 7,5), W = 1,5, p < ,01, r = ,73."

Einschliessen:

• W-Statistik (oder z bei Verwendung der Approximation)
• P-Wert
• Mediane fur beide Bedingungen
• Effektstarke

Historischer Kontext

Frank Wilcoxon fuhrte diesen Test 1945 ein, zusammen mit dem Rangsummentest fur unabhangige Stichproben.

Diese rangbasierten Methoden boten Alternativen zu t-Tests, wenn Normalitat nicht angenommen werden konnte - und adressierten einen echten Bedarf in der angewandten Forschung, wo Daten oft schief verteilt sind.

Wilcoxons Ansatz, Range zu verwenden, um verteilungsfreie Tests zu erstellen, war revolutionar und begrundete ein ganzes Feld der nicht-parametrischen Statistik.

Einzel-Stichproben-Anwendung

Der Test kann eine einzelne Stichprobe mit einem hypothetischen Median vergleichen:

1. Differenzen vom hypothetischen Wert berechnen
2. Vorzeichen-Rang-Verfahren anwenden

Dies ist die nicht-parametrische Alternative zum Einzel-Stichproben-t-Test.

Verwandte Berechnungen

• Gepaarter t-Test — Parametrischer gepaarter Test
• Mann-Whitney-U-Test — Unabhangiger nicht-parametrischer Test
• Vorzeichentest — Einfacherer gepaarter nicht-parametrischer Test
• Median-Rechner — Deskriptive Statistik

Zusammenfassung

Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test vergleicht gepaarte Messungen durch Analyse der Vorzeichen und Range der Differenzen. Er ist die nicht-parametrische Alternative zum gepaarten t-Test, geeignet wenn Differenzen nicht normalverteilt sind. Berechnen Sie Differenzen, rangieren Sie ihre Absolutbetrage, summieren Sie positive und negative Range getrennt und verwenden Sie die kleinere Summe als Teststatistik. Der Test setzt symmetrische Differenzen und unabhangige Paare voraus. Berichten Sie W, p-Wert, Mediane und Effektstarke. Verwenden Sie ihn, wenn Normalitat zweifelhaft ist oder Daten ordinal sind, beachten Sie aber, dass der gepaarte t-Test machtiger ist, wenn Normalitat vorliegt.