Calculadora de proporción bayesiana

Usa la estimación bayesiana de proporciones cuando quieras incorporar conocimiento previo en tu estimación, o cuando necesites una distribución de probabilidad completa para la proporción en lugar de solo una estimación puntual e intervalo de confianza.

¿Qué es la estimación bayesiana de proporciones?

La estimación bayesiana de proporciones usa el sistema conjugado Beta-Binomial para estimar un parámetro de probabilidad. Comienzas con una creencia previa sobre la proporción, observas datos (éxitos y fracasos) y obtienes una distribución posterior actualizada.

$\text{A priori: } p \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$ $\text{Datos: } X \sim \text{Binomial}(n, p)$ $\text{Posterior: } p|X \sim \text{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x)$

Donde:

• $\alpha, \beta$ = parámetros a priori
• $n$ = número de ensayos
• $x$ = número de éxitos

La distribución Beta

La distribución Beta es perfecta para proporciones porque:

• Está acotada entre 0 y 1
• Es flexible (puede ser uniforme, en forma de U o con pico)
• Es conjugada con la Binomial (el posterior también es Beta)

Interpretando parámetros a priori

Piensa en $\alpha$ y $\beta$ como "pseudo-observaciones":

• $\alpha$ = éxitos previos
• $\beta$ = fracasos previos
• $\alpha + \beta$ = fuerza de la creencia previa

Cómo funciona

Paso 1: Elige tu a priori

Basándote en conocimiento previo, selecciona $\alpha$ y $\beta$:

• Media a priori = $\frac{\alpha}{\alpha + \beta}$
• Tamaño de muestra equivalente a priori = $\alpha + \beta$

Paso 2: Observa datos

Recopila $n$ ensayos con $x$ éxitos.

Paso 3: Actualiza al posterior

$\text{Posterior: Beta}(\alpha + x, \beta + n - x)$

• Media posterior = $\frac{\alpha + x}{\alpha + \beta + n}$
• Esto es un promedio ponderado de la media a priori y la proporción observada

Paso 4: Calcula el intervalo de credibilidad

El intervalo de credibilidad del 95% contiene la verdadera proporción con 95% de probabilidad (a diferencia de los intervalos de confianza frecuentistas, que no tienen esta interpretación).

Ejemplo: Prueba A/B con conocimiento previo

Escenario: Probando un nuevo botón. Los datos históricos sugieren tasas de conversión alrededor del 5%.

A priori: Beta(5, 95) — representa creencia en ~5% de tasa con confianza moderada (equivalente a 100 observaciones previas)

Datos: 200 visitantes, 18 conversiones (9%)

Posterior: $\text{Beta}(5 + 18, 95 + 182) = \text{Beta}(23, 277)$

Resultados:

• Media posterior = 23/300 = 7,7%
• Intervalo de credibilidad del 95%: [5,0%; 11,0%]

El posterior (7,7%) se atrae hacia el a priori (5%) desde la tasa observada (9%), reflejando el compromiso entre creencia previa y datos.

Intervalos de credibilidad vs. intervalos de confianza

Eligiendo tu a priori

A prioris no informativos

Cuando no tienes conocimiento previo:

• Uniforme: Beta(1, 1) — Todos los valores igualmente probables
• Jeffreys: Beta(0,5; 0,5) — Invariante bajo reparametrización
• Haldane: Beta(0, 0) — Impropio pero a menudo funciona

A prioris informativos

Cuando tienes conocimiento previo:

1. Estima la media a priori $\mu$ y el tamaño de muestra equivalente $n_0$
2. Establece $\alpha = \mu \times n_0$ y $\beta = (1 - \mu) \times n_0$

Ejemplo: Crees que la tasa es alrededor del 20% basándote en 50 observaciones previas:

• $\alpha = 0,20 \times 50 = 10$
• $\beta = 0,80 \times 50 = 40$
• A priori: Beta(10, 40)

Análisis de sensibilidad al a priori

Siempre verifica qué tan sensibles son las conclusiones a la elección del a priori:

Con suficientes datos, el posterior se vuelve menos sensible al a priori.

Aplicaciones

Ensayos clínicos

• A priori de estudios previos
• Actualizar con datos del ensayo actual
• Diseños de ensayos adaptativos

Control de calidad

• A priori de tasas históricas de defectos
• Actualizar con datos de inspección
• Monitoreo de procesos

Optimización de tasa de conversión

• A priori de productos/páginas similares
• Actualizar con datos de pruebas A/B
• Toma de decisiones con incertidumbre

Análisis de encuestas

• A priori del censo o encuestas anteriores
• Actualizar con datos de muestra
• Estimación de área pequeña

Distribución predictiva posterior

Para predecir observaciones futuras:

$P(\text{éxito del próximo ensayo}) = \frac{\alpha + x}{\alpha + \beta + n}$

Para $m$ ensayos futuros: $P(k \text{ éxitos en } m \text{ ensayos}) = \text{Beta-Binomial}(m, \alpha + x, \beta + n - x)$

Comparando dos proporciones

Para comparar proporciones $p_A$ y $p_B$:

1. Obtén el posterior para cada una: Beta($\alpha_A$, $\beta_A$) y Beta($\alpha_B$, $\beta_B$)
2. Calcula $P(p_A > p_B)$ por simulación o integración numérica
3. Reporta la probabilidad de que A sea mejor

Esto responde directamente "¿Cuál es la probabilidad de que A sea mejor que B?" en lugar de "¿Podemos rechazar la hipótesis nula?"

Contexto histórico

Thomas Bayes y Pierre-Simon Laplace desarrollaron estos métodos en el siglo XVIII. Laplace usó métodos bayesianos para estimar la proporción de nacimientos femeninos en París.

El sistema Beta-Binomial se convirtió en un ejemplo canónico de análisis conjugado, mostrando cómo el a priori y el posterior pueden tener la misma forma distribucional.

Errores comunes

A priori demasiado fuerte

Si tu a priori tiene $\alpha + \beta = 1000$, estás afirmando el equivalente de 1000 observaciones previas. Los datos apenas moverán tus creencias.

Ignorar la especificación del a priori

Reporta tu a priori y haz análisis de sensibilidad. Diferentes a prioris pueden llevar a diferentes conclusiones.

Sobreinterpretar muestras pequeñas

Incluso con métodos bayesianos, las muestras pequeñas producen intervalos de credibilidad amplios. El a priori ayuda pero no crea información de la nada.

Cálculos relacionados

• Calculadora del teorema de Bayes — Actualizaciones fundamentales de probabilidad
• Intervalo de confianza para proporción — Enfoque frecuentista
• Significancia de prueba A/B — Pruebas A/B frecuentistas
• Prueba A/B bayesiana — Comparación bayesiana completa

Resumen

La estimación bayesiana de proporciones usa el sistema conjugado Beta-Binomial para estimar proporciones. Comienza con un a priori Beta que codifica tus creencias, actualiza con éxitos y fracasos observados, y obtén un posterior Beta. La media posterior es un promedio ponderado de a priori y datos. Los intervalos de credibilidad tienen una interpretación de probabilidad directa. Elige los a prioris cuidadosamente, repórtalos y haz análisis de sensibilidad para asegurar que las conclusiones sean robustas.