Calculadora de IC por bootstrap

Usa intervalos de confianza bootstrap cuando no puedas asumir normalidad, tengas muestras pequeñas, o necesites intervalos para estadísticos complejos como medianas, razones o percentiles. El remuestreo bootstrap no hace supuestos distribucionales.

¿Qué es el bootstrapping?

El bootstrapping crea muchos conjuntos de datos remuestreados extrayendo con reemplazo de tus datos originales, luego calcula tu estadístico en cada remuestra:

1. Muestra original: n observaciones
2. Extrae n observaciones con reemplazo → Muestra bootstrap 1
3. Calcula el estadístico en la muestra bootstrap 1
4. Repite B veces (típicamente 1000-10000)
5. Usa la distribución de estadísticos bootstrap para inferencia

Métodos de IC bootstrap

Método de percentiles

El enfoque más simple: usa percentiles de la distribución bootstrap.

$IC_{95\%} = [B_{0,025}, B_{0,975}]$

Donde $B_{p}$ es el percentil p-ésimo de los estadísticos bootstrap.

Pros: Simple, intuitivo Contras: Puede estar sesgado, pobre cobertura para distribuciones sesgadas

Método básico (percentil inverso)

$IC_{95\%} = [2\hat{\theta} - B_{0,975}, 2\hat{\theta} - B_{0,025}]$

Donde $\hat{\theta}$ es la estimación de la muestra original.

Refleja la distribución bootstrap alrededor de la estimación original.

Corregido por sesgo y acelerado (BCa)

El estándar de oro para ICs bootstrap:

$IC_{BCa} = [B_{\alpha_1}, B_{\alpha_2}]$

Donde: $\alpha_1 = \Phi\left(z_0 + \frac{z_0 + z_{\alpha/2}}{1 - a(z_0 + z_{\alpha/2})}\right)$

$\alpha_2 = \Phi\left(z_0 + \frac{z_0 + z_{1-\alpha/2}}{1 - a(z_0 + z_{1-\alpha/2})}\right)$

• $z_0$ = corrección de sesgo (proporción de estimaciones bootstrap por debajo de la original)
• $a$ = aceleración (mide la asimetría)

Pros: Mejor cobertura, maneja sesgo y asimetría Contras: Computacionalmente intensivo, requiere más muestras bootstrap

Estudentizado (Bootstrap-t)

$IC = [\hat{\theta} - t^*_{1-\alpha/2} \cdot EE, \hat{\theta} - t^*_{\alpha/2} \cdot EE]$

Usa la distribución de estadísticos estudentizados: $t^* = \frac{\hat{\theta}^* - \hat{\theta}}{EE^*}$

Requiere estimar EE para cada muestra bootstrap.

Ejemplo: IC bootstrap para la mediana

Datos: 12, 15, 18, 22, 25, 28, 45, 52 (n = 8)

Mediana original: 23,5

1000 muestras bootstrap dan medianas:

• Percentil 2,5: 17,5
• Percentil 97,5: 38,5

IC percentil 95%: [17,5; 38,5]

Comparar con: ¡No existe fórmula simple para IC de mediana con teoría normal!

¿Cuántas muestras bootstrap?

Más muestras = más precisión, pero rendimientos decrecientes después de ~10.000.

Cuándo usar ICs bootstrap

Situaciones ideales

1. Datos no normales: Distribuciones sesgadas, valores atípicos
2. Muestras pequeñas: n < 30 donde el TLC es cuestionable
3. Estadísticos complejos: Mediana, media recortada, razones, percentiles
4. Sin EE de forma cerrada: Diferencias de correlación, predicciones de regresión
5. Datos dependientes: Series de tiempo (usa bootstrap por bloques)

Cuándo NO usar

1. Muestras muy pequeñas: n < 10 puede no capturar la variabilidad poblacional
2. Colas pesadas con n pequeño: Bootstrap puede ser inestable
3. Estadísticos simples con n grande: La teoría normal es adecuada y más rápida

Bootstrap para diferentes estadísticos

Media

$\bar{X}^* = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^*$

Bootstrap es innecesario para n grande (usa teoría normal), pero válido para n pequeño o datos no normales.

Mediana

No hay fórmula simple para EE de mediana. Bootstrap es a menudo el mejor enfoque:

$\tilde{X}^* = \text{mediana}(X_1^*, ..., X_n^*)$

Correlación

$r^* = \text{cor}(X^*, Y^*)$

Bootstrap maneja la distribución muestral no normal de r.

Coeficientes de regresión

Remuestrea pares (X, Y) juntos:

$\hat{\beta}^* = (X^{*T}X^*)^{-1}X^{*T}Y^*$

Cuenta para heterocedasticidad sin asumirla.

Diferencia de medias

Remuestrea cada grupo por separado:

$D^* = \bar{X}_1^* - \bar{X}_2^*$

Válido incluso con varianzas desiguales y no normalidad.

Bootstrap paramétrico vs. no paramétrico

Bootstrap no paramétrico

Remuestrea de los datos mismos. No hace supuestos distribucionales.

Bootstrap paramétrico

1. Ajusta un modelo a los datos (por ejemplo, estima μ, σ)
2. Genera muestras del modelo ajustado
3. Calcula el estadístico en cada muestra generada

Usar cuando: Estás seguro de la forma distribucional pero incierto sobre los parámetros.

Bootstrap por bloques para datos dependientes

Para series de tiempo o datos espaciales, las observaciones no son independientes. El bootstrap por bloques preserva la dependencia local:

1. Divide los datos en bloques superpuestos
2. Remuestrea bloques (no observaciones individuales)
3. Concatena para formar la muestra bootstrap

El tamaño del bloque requiere ajuste—muy pequeño ignora dependencia, muy grande reduce variabilidad.

Verificando resultados bootstrap

Convergencia

Aumenta B hasta que el EE del EE bootstrap se estabilice:

$EE_{bootstrap}(EE) \approx \frac{EE}{\sqrt{2B}}$

Sesgo

$\text{Sesgo} = \bar{\theta^*} - \hat{\theta}$

Si el sesgo es grande relativo al EE, considera el método BCa.

Normalidad de la distribución bootstrap

Si la distribución bootstrap es altamente no normal, el método de percentiles puede tener pobre cobertura. Usa BCa.

Errores comunes

Remuestrear unidades incorrectas

Para datos agrupados, remuestrea clusters, no observaciones. Para datos pareados, remuestrea pares.

Ignorar dependencia

El bootstrap estándar asume independencia. Usa bootstrap por bloques para series de tiempo.

Muy pocas muestras bootstrap

B = 100 es muy poco para ICs. Usa al menos 1000.

Esperar milagros con n pequeño

Bootstrap no puede crear información que no está en tu muestra. Con n = 5, tu IC será amplio de todos modos.

Comparación con otros métodos

Reportando resultados bootstrap

Formato estándar: "El tiempo de respuesta mediano fue 23,5 ms (IC BCa bootstrap 95%: 17,5–38,5 ms, B = 5000)."

Incluir:

• Estimación original
• Método de IC (percentil, BCa, etc.)
• Número de muestras bootstrap
• Cualquier consideración especial (tamaño de bloque para series de tiempo)

Consideraciones computacionales

Consejos de eficiencia

1. Vectoriza operaciones
2. Usa procesamiento paralelo para B grande
3. Almacena solo los estadísticos necesarios, no remuestras completas
4. Considera submuestreo para conjuntos de datos enormes

Reproducibilidad

Establece semilla aleatoria antes del bootstrapping para resultados reproducibles.

Contexto histórico

Bradley Efron introdujo el bootstrap en 1979, revolucionando la inferencia estadística. El método BCa (1987) mejoró las propiedades de cobertura. Los avances en computación hicieron el bootstrap práctico, cambiando fundamentalmente cómo los estadísticos abordan problemas de inferencia complejos.

Cálculos relacionados

• Calculadora de intervalo de confianza — Intervalos paramétricos
• Calculadora de prueba T — Prueba de hipótesis
• Calculadora de error estándar — Estimación de EE
• Calculadora de mediana — Tendencia central

Resumen

Los intervalos de confianza bootstrap funcionan remuestreando tus datos con reemplazo, calculando el estadístico de interés muchas veces y usando la distribución resultante para inferencia. El método de percentiles es el más simple pero BCa se prefiere por sus mejores propiedades de cobertura. Usa bootstrap cuando la normalidad es cuestionable, las muestras son pequeñas, o para estadísticos sin errores estándar de forma cerrada. Elige al menos 1000 remuestras para ICs, 2000+ para BCa. Reporta el método usado y el número de muestras bootstrap.