Calculadora de media geométrica

¿Qué es la media geométrica?

La media geométrica es la raíz n-ésima del producto de n valores:

$MG = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n} = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n}$

Equivalentemente, usando logaritmos:

$MG = \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)\right)$

Propiedad clave: La media geométrica de factores de crecimiento iguala el factor de crecimiento constante que produce el mismo resultado final.

Cuándo usar la media geométrica

Tasas de crecimiento y rendimientos

Rendimientos de inversión sobre múltiples períodos:

Media aritmética: (20 - 10 + 15) / 3 = 8,33%

Media geométrica: $\sqrt[3]{1,20 \times 0,90 \times 1,15} = 1,073$ → 7,3% por año

La media geométrica muestra correctamente que $100 se convierte en$100 × 1,073³ = $123,66.

Razones y proporciones

Al promediar razones, la media geométrica asegura consistencia.

Si A es el doble de B, y B es el doble de C, entonces A es 4× C. Media geométrica de las razones: $\sqrt{2 \times 2} = 2$ ✓ La media aritmética daría: (2 + 2) / 2 = 2 ✓ (funciona aquí)

Pero con razones diferentes (3× y 1/3×), la media aritmética falla mientras la media geométrica correctamente da 1.

Datos que abarcan órdenes de magnitud

Para datos como poblaciones, concentraciones o precios que varían ampliamente:

Valores: 10, 100, 1000

Media aritmética: 370 Media geométrica: $\sqrt[3]{10 \times 100 \times 1000} = 100$

La media geométrica representa mejor el valor "típico".

Ejemplo de cálculo

Datos: 2, 8, 4, 16

Método 1: Cálculo directo

$MG = \sqrt[4]{2 \times 8 \times 4 \times 16} = \sqrt[4]{1024} = 5,66$

Método 2: Usando logaritmos

$MG = \exp\left(\frac{\ln 2 + \ln 8 + \ln 4 + \ln 16}{4}\right) = \exp\left(\frac{0,69 + 2,08 + 1,39 + 2,77}{4}\right) = \exp(1,73) = 5,66$

Propiedades

Relación con medias aritmética y armónica

Para números positivos:

$\text{Media armónica} \leq \text{Media geométrica} \leq \text{Media aritmética}$

La igualdad se cumple solo cuando todos los valores son idénticos.

Propiedad multiplicativa

$MG(a \times b) = MG(a) \times MG(b)$

Esto hace que la media geométrica sea natural para procesos multiplicativos.

Transformación logarítmica

La media geométrica iguala la media aritmética exponenciada de datos transformados logarítmicamente:

$MG(x) = \exp(MA(\ln x))$

Por esto se usa cuando las distribuciones log-normales son apropiadas.

Aplicaciones

Finanzas

Tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR):

$CAGR = \left(\frac{\text{Valor final}}{\text{Valor inicial}}\right)^{1/n} - 1$

Esta es la media geométrica de factores de crecimiento menos 1.

Biología

• Tasas de crecimiento bacteriano
• Dinámica de poblaciones
• Títulos de anticuerpos (a menudo reportados como títulos medios geométricos, TMG)

Ciencias ambientales

• Concentraciones de contaminantes
• Índices de calidad del agua
• Abundancia de especies

Procesamiento de imágenes

• Filtros de media geométrica para reducción de ruido
• Promediado de colores (media geométrica de valores RGB)

Media geométrica ponderada

Cuando los valores tienen diferentes pesos:

$MG_p = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i^{w_i}\right)^{1/\sum w_i}$

O equivalentemente:

$MG_p = \exp\left(\frac{\sum w_i \ln x_i}{\sum w_i}\right)$

Ejemplo: Cartera con 60% en inversión A (rendimiento 1,10) y 40% en inversión B (rendimiento 1,05):

$MG_p = (1,10^{0,6} \times 1,05^{0,4}) = 1,079$

Limitaciones

Requiere valores positivos

La media geométrica no está definida para valores cero o negativos.

Soluciones alternativas:

• Añadir una constante para desplazar los datos a positivos
• Usar solo para datos naturalmente positivos
• Considerar la media aritmética en su lugar

Sensible a valores pequeños

Los valores pequeños tienen influencia desproporcionada:

Valores: 1, 100, 100, 100

Media aritmética: 75,25 Media geométrica: $\sqrt[4]{1 \times 100^3} = 31,62$

El único valor pequeño baja significativamente la media geométrica.

Comparación con media aritmética

Desviación estándar geométrica

La dispersión alrededor de la media geométrica:

$DEG = \exp\left(\sqrt{\frac{\sum(\ln x_i - \ln MG)^2}{n-1}}\right)$

Usada para describir variabilidad en datos log-normales. Una DEG de 2 significa que los valores típicamente van de MG/2 a MG×2.

Contexto histórico

La media geométrica tiene orígenes antiguos—aparece en los Elementos de Euclides (300 a.C.) en el contexto de proporciones y triángulos similares.

El término "geométrica" viene de su relación con construcciones geométricas: la media geométrica de dos longitudes a y b iguala el lado de un cuadrado con la misma área que un rectángulo con lados a y b.

Cálculos relacionados

• Calculadora de media — Media aritmética
• Calculadora de media armónica — Media para tasas
• Calculadora de promedio ponderado — Media aritmética ponderada
• Calculadora de desviación estándar — Medición de dispersión

Resumen

La media geométrica es el promedio apropiado para datos multiplicativos: tasas de crecimiento, razones y valores que abarcan múltiples órdenes de magnitud. Calcúlala como la raíz n-ésima del producto de valores, o equivalentemente, exponencia la media aritmética de valores transformados logarítmicamente. La media geométrica siempre cae entre las medias armónica y aritmética. Úsala para rendimientos de inversión, crecimiento poblacional y cualquier dato donde los cambios relativos importen más que los cambios absolutos.