Calculadora de probabilidad de Poisson

¿Qué es la Distribución de Poisson?

La Distribución de Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo cuando los eventos suceden de forma independiente a una tasa promedio constante.

Parámetro:

• λ (lambda) = tasa promedio de eventos por intervalo

La pregunta: ¿Cuál es P(X = k), la probabilidad de exactamente k eventos?

La Fórmula

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Donde $e \approx 2.71828$ es el número de Euler.

Ejemplo: Un centro de llamadas recibe 4 llamadas por hora en promedio. ¿Cuál es P(exactamente 6 llamadas en la próxima hora)?

$P(X = 6) = \frac{e^{-4} \times 4^6}{6!} = \frac{0.0183 \times 4096}{720} = 0.104$

Aproximadamente 10.4% de probabilidad.

¿Cuándo se Aplica Poisson?

La Distribución de Poisson requiere:

1. Los eventos ocurren de forma independiente: Un evento no afecta a otros
2. Tasa constante: La tasa promedio no cambia durante el intervalo
3. Proporcional al intervalo: La probabilidad escala con la longitud del intervalo
4. Eventos raros: La probabilidad de 2+ eventos en un intervalo muy pequeño es insignificante

Ejemplos Clásicos

• Llamadas a un centro de llamadas por hora
• Errores tipográficos por página
• Autos que pasan por un punto por minuto
• Eventos de desintegración radiactiva por segundo
• Solicitudes al servidor por minuto
• Goles en un partido de fútbol
• Accidentes en una intersección por año

No es Apropiado Para

• Eventos que tienden a agruparse (usar binomial negativa)
• Eventos con tasas variables (usar Poisson no homogéneo)
• Eventos que no son independientes

Aplicaciones

Teoría de Colas

"Un banco tiene 3 clientes por hora en promedio. ¿Cuál es P(exactamente 5 clientes en una hora)?"

λ = 3, k = 5 P(X = 5) = (e^(-3) × 3^5) / 5! = 0.101

Ingeniería de Confiabilidad

"Una máquina falla 2 veces por año en promedio. ¿Cuál es P(0 fallas el próximo año)?"

λ = 2, k = 0 P(X = 0) = e^(-2) × 2^0 / 0! = 0.135

Aproximadamente 13.5% de probabilidad de cero fallas.

Biología

"Un portaobjetos de microscopio tiene 8 bacterias por cm² en promedio. ¿Cuál es P(exactamente 10 en un cm² dado)?"

λ = 8, k = 10 P(X = 10) = (e^(-8) × 8^10) / 10! = 0.099

Análisis Deportivo

"Un equipo anota 1.5 goles por partido en promedio. ¿Cuál es P(exactamente 2 goles)?"

λ = 1.5, k = 2 P(X = 2) = (e^(-1.5) × 1.5²) / 2! = 0.251

Seguros

"Los reclamos llegan a 0.5 por día en promedio. ¿Cuál es P(3+ reclamos mañana)?"

P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]

Media y Varianza

Una propiedad única de la Distribución de Poisson:

$E(X) = \lambda$

$Var(X) = \lambda$

$SD(X) = \sqrt{\lambda}$

La media es igual a la varianza. Si los datos observados tienen una varianza muy diferente de la media, el modelo de Poisson puede no ajustarse bien.

Cambiar el Intervalo

Si λ es la tasa por unidad de tiempo, para un intervalo diferente:

• Tasa para 2 horas = 2λ
• Tasa para media hora = λ/2
• Tasa para cualquier intervalo t = λt

Ejemplo: Si hay 4 llamadas por hora, entonces:

• Por 30 minutos: λ = 2
• Por 2 horas: λ = 8

Desarrollo Histórico

Siméon Denis Poisson (1781-1840) introdujo la distribución en 1837, estudiando la probabilidad de condenas en casos judiciales.

La distribución se hizo famosa a través del análisis de 1898 de Ladislaus Bortkiewicz sobre soldados de caballería prusianos muertos por coces de caballos—un ejemplo clásico de eventos raros.

A.K. Erlang aplicó los procesos de Poisson al modelado de llamadas telefónicas a principios de 1900, fundando la teoría de colas.

Relación con la Binomial

La Distribución de Poisson surge como un límite de la binomial:

Si n → ∞, p → 0, y np → λ, entonces:

Binomial(n, p) → Poisson(λ)

Regla práctica: Cuando n ≥ 20 y p ≤ 0.05, usar Poisson con λ = np.

Esto explica por qué Poisson funciona para eventos raros: muchos ensayos (n), probabilidad pequeña (p), conteo esperado moderado (λ = np).

Probabilidades Acumuladas

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$

$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

Ejemplo: "¿Cuál es P(al menos 3 llamadas)?"

P(X ≥ 3) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]

Aproximación Normal

Para λ grande (típicamente $\lambda > 10$):

$X \sim N(\lambda, \sqrt{\lambda})$ aproximadamente

Con corrección de continuidad:

$P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0.5 - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)$

Sobredispersión

Cuando la varianza > media, los datos muestran "sobredispersión"—más variabilidad de lo que Poisson predice. Las causas incluyen:

• Agrupamiento de eventos
• Tasas heterogéneas entre sujetos
• Correlación entre eventos

Soluciones: regresión binomial negativa, modelos cuasi-Poisson.

Regresión de Poisson

Al modelar datos de conteo con predictores:

$\log(\lambda) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots$

Los coeficientes se exponencian a razones de tasas:

• $e^{\beta_1}$ = efecto multiplicativo sobre la tasa por unidad de aumento en $X_1$

Cálculos Relacionados

• Calculadora de Tasa de Poisson — Estimar λ a partir de datos
• Calculadora de Probabilidad Binomial — Alternativa discreta
• Calculadora de Probabilidad Normal — Aproximación para λ grande
• Intervalo de Confianza para la Media — Intervalo para λ

Resumen

La Distribución de Poisson modela el conteo de eventos independientes que ocurren a una tasa promedio constante λ. Desde centros de llamadas hasta desintegración radiactiva y puntuaciones deportivas, las probabilidades de Poisson responden preguntas sobre conteos de eventos. La propiedad clave de la distribución—la media es igual a la varianza—proporciona una verificación del ajuste del modelo. Como límite de la binomial para eventos raros, la Distribución de Poisson es fundamental para la teoría de probabilidad y se aplica ampliamente en colas, confiabilidad y análisis de datos de conteo.