Calculateur de proportion bayésienne

Utilisez l'estimation bayésienne de proportion lorsque vous souhaitez incorporer des connaissances a priori dans votre estimation, ou lorsque vous avez besoin d'une distribution de probabilité complète pour la proportion plutôt que simplement une estimation ponctuelle et un intervalle de confiance.

Qu'est-ce que l'estimation bayésienne de proportion ?

L'estimation bayésienne de proportion utilise le système conjugué a priori bêta-binomial pour estimer un paramètre de probabilité. Vous commencez par une croyance a priori sur la proportion, observez des données (succès et échecs), et obtenez une distribution a posteriori mise à jour.

$\text{A priori: } p \sim \text{Bêta}(\alpha, \beta)$ $\text{Données: } X \sim \text{Binomial}(n, p)$ $\text{A posteriori: } p|X \sim \text{Bêta}(\alpha + x, \beta + n - x)$

Où :

• $\alpha, \beta$ = paramètres a priori
• $n$ = nombre d'essais
• $x$ = nombre de succès

La distribution bêta

La distribution bêta est parfaite pour les proportions parce que :

• Elle est bornée entre 0 et 1
• Elle est flexible (peut être uniforme, en U, ou pointue)
• Elle est conjuguée au binomial (l'a posteriori est aussi bêta)

Interprétation des paramètres a priori

Pensez à $\alpha$ et $\beta$ comme des « pseudo-observations » :

• $\alpha$ = succès a priori
• $\beta$ = échecs a priori
• $\alpha + \beta$ = force de la croyance a priori

Comment ça fonctionne

Étape 1 : Choisir votre a priori

En fonction des connaissances a priori, sélectionnez $\alpha$ et $\beta$ :

• Moyenne a priori = $\frac{\alpha}{\alpha + \beta}$
• Équivalent de taille d'échantillon a priori = $\alpha + \beta$

Étape 2 : Observer les données

Collecter $n$ essais avec $x$ succès.

Étape 3 : Mettre à jour vers l'a posteriori

$\text{A posteriori: Bêta}(\alpha + x, \beta + n - x)$

• Moyenne a posteriori = $\frac{\alpha + x}{\alpha + \beta + n}$
• C'est une moyenne pondérée de la moyenne a priori et de la proportion observée

Étape 4 : Calculer l'intervalle crédible

L'intervalle crédible à 95 % contient la vraie proportion avec une probabilité de 95 % (contrairement aux intervalles de confiance fréquentistes, qui n'ont pas cette interprétation).

Exemple : Test A/B avec connaissance a priori

Scénario : Tester un nouveau bouton. Les données historiques suggèrent des taux de conversion autour de 5 %.

A priori : Bêta(5, 95) — représente une croyance en un taux de ~5 % avec une confiance modérée (équivalent à 100 observations a priori)

Données : 200 visiteurs, 18 conversions (9 %)

A posteriori : $\text{Bêta}(5 + 18, 95 + 182) = \text{Bêta}(23, 277)$

Résultats :

• Moyenne a posteriori = 23/300 = 7,7 %
• Intervalle crédible à 95 % : [5,0 %, 11,0 %]

L'a posteriori (7,7 %) est tiré vers l'a priori (5 %) à partir du taux observé (9 %), reflétant le compromis entre la croyance a priori et les données.

Intervalles crédibles vs. intervalles de confiance

Choix de votre a priori

A priori non informatifs

Lorsque vous n'avez pas de connaissance a priori :

• Uniforme : Bêta(1, 1) — Toutes les valeurs également probables
• Jeffreys : Bêta(0,5, 0,5) — Invariant sous reparamétrisation
• Haldane : Bêta(0, 0) — Impropre mais fonctionne souvent

A priori informatifs

Lorsque vous avez des connaissances a priori :

1. Estimer la moyenne a priori $\mu$ et l'équivalent de taille d'échantillon $n_0$
2. Fixer $\alpha = \mu \times n_0$ et $\beta = (1 - \mu) \times n_0$

Exemple : Vous croyez que le taux est autour de 20 % basé sur 50 observations a priori :

• $\alpha = 0,20 \times 50 = 10$
• $\beta = 0,80 \times 50 = 40$
• A priori : Bêta(10, 40)

Analyse de sensibilité a priori

Toujours vérifier à quel point les conclusions sont sensibles au choix de l'a priori :

Avec suffisamment de données, l'a posteriori devient moins sensible à l'a priori.

Applications

Essais cliniques

• A priori d'études précédentes
• Mise à jour avec les données d'essai actuelles
• Conceptions d'essai adaptatives

Contrôle qualité

• A priori des taux de défauts historiques
• Mise à jour avec les données d'inspection
• Surveillance des processus

Optimisation du taux de conversion

• A priori de produits/pages similaires
• Mise à jour avec les données de test A/B
• Prise de décision avec incertitude

Analyse d'enquête

• A priori du recensement ou d'enquêtes précédentes
• Mise à jour avec les données d'échantillon
• Estimation de petites zones

Distribution prédictive a posteriori

Pour prédire les observations futures :

$P(\text{prochain essai réussi}) = \frac{\alpha + x}{\alpha + \beta + n}$

Pour $m$ essais futurs : $P(k \text{ succès dans } m \text{ essais}) = \text{Bêta-Binomial}(m, \alpha + x, \beta + n - x)$

Comparaison de deux proportions

Pour comparer les proportions $p_A$ et $p_B$ :

1. Obtenir l'a posteriori pour chacun : Bêta($\alpha_A$, $\beta_A$) et Bêta($\alpha_B$, $\beta_B$)
2. Calculer $P(p_A > p_B)$ par simulation ou intégration numérique
3. Rapporter la probabilité que A soit meilleur

Cela répond directement à « Quelle est la probabilité que A soit meilleur que B ? » plutôt que « Pouvons-nous rejeter l'hypothèse nulle ? »

Contexte historique

Thomas Bayes et Pierre-Simon Laplace ont développé ces méthodes au 18e siècle. Laplace a utilisé des méthodes bayésiennes pour estimer la proportion de naissances féminines à Paris.

Le système bêta-binomial est devenu un exemple canonique d'analyse conjuguée, montrant comment l'a priori et l'a posteriori peuvent avoir la même forme distributionnelle.

Erreurs courantes

A priori trop fort

Si votre a priori a $\alpha + \beta = 1000$, vous prétendez l'équivalent de 1000 observations a priori. Les données déplaceront à peine vos croyances.

Ignorer la spécification de l'a priori

Rapportez votre a priori et faites une analyse de sensibilité. Différents a priori peuvent conduire à différentes conclusions.

Surinterprétation des petits échantillons

Même avec des méthodes bayésiennes, les petits échantillons donnent de larges intervalles crédibles. L'a priori aide mais ne crée pas d'information à partir de rien.

Calculs associés

• Calculateur du théorème de Bayes — Mises à jour de probabilité fondamentales
• Intervalle de confiance pour proportion — Approche fréquentiste
• Significativité du test A/B — Test A/B fréquentiste
• Test A/B bayésien — Comparaison bayésienne complète

Résumé

L'estimation bayésienne de proportion utilise le système conjugué a priori bêta-binomial pour estimer les proportions. Commencez par un a priori bêta encodant vos croyances, mettez à jour avec les succès et échecs observés, et obtenez un a posteriori bêta. La moyenne a posteriori est une moyenne pondérée de l'a priori et des données. Les intervalles crédibles ont une interprétation de probabilité directe. Choisissez les a priori avec soin, rapportez-les et faites une analyse de sensibilité pour assurer que les conclusions sont robustes.