Chi-Quadrat-Anpassungstest-Rechner

Was ist der Chi-Quadrat-Anpassungstest?

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest ermittelt, ob beobachtete Häufigkeiten mit erwarteten Häufigkeiten für eine einzelne kategoriale Variable übereinstimmen.

Beantwortete Frage: "Entspricht die beobachtete Verteilung der erwarteten Verteilung?"

Beispiele:

• "Ist dieser Würfel fair?" (erwartete gleiche Häufigkeiten für 1-6)
• "Entspricht unser Kundenstamm der allgemeinen Bevölkerungsdemografie?"
• "Folgen die Umfrageantworten den erwarteten Anteilen?"

Anpassungstest vs. Unabhängigkeitstest

Anpassungstest: Eine Variable, Prüfung gegen festgelegte erwartete Anteile.

Unabhängigkeitstest: Zwei Variablen, Prüfung ob sie zusammenhängen.

Beide verwenden Chi-Quadrat, beantworten aber unterschiedliche Fragen.

Die Hypothesen

H₀: Beobachtete Häufigkeiten stimmen mit erwarteten Anteilen überein.

H₁: Beobachtete Häufigkeiten stimmen nicht mit erwarteten Anteilen überein.

Dies ist immer ein zweiseitiger Test - jede Abweichung von den erwarteten Werten spricht gegen H₀.

Berechnung des Tests

Schritt 1: Erwartete Anteile festlegen

Für einen fairen Würfel: 1/6 für jede Seite (gleichmäßig).

Für Bevölkerungsabgleich: Anteile aus Volkszählungs- oder Referenzdaten.

Schritt 2: Erwartete Häufigkeiten berechnen

E = n × erwarteter Anteil

Für 120 Würfelwürfe bei erwarteter Gleichverteilung: E = 120 × (1/6) = 20 für jede Seite.

Schritt 3: Chi-Quadrat berechnen

χ² = Σ[(O - E)² / E]

Schritt 4: Freiheitsgrade bestimmen

df = k - 1

Wobei k = Anzahl der Kategorien.

Für Würfel: df = 6 - 1 = 5

Falls Parameter aus den Daten geschätzt wurden, zusätzliche df abziehen.

Schritt 5: P-Wert berechnen

Vergleiche χ² = 3,80 mit der Chi-Quadrat-Verteilung bei df = 5.

p = 0,58

Schlussfolgerung: Kein Hinweis, dass der Würfel unfair ist (p > 0,05). Die beobachteten Häufigkeiten sind mit der Hypothese eines fairen Würfels vereinbar.

Anwendungen

Prüfung auf Zufälligkeit

Sind die Ergebnisse gleichmäßig verteilt?

• Lottozahlen
• Zufallszahlengeneratoren
• Gemischte Kartenspiele

Prüfung theoretischer Verteilungen

Folgt die Genetik den Mendelschen Verhältnissen?

• Erwartete Verhältnisse 3:1 oder 9:3:3:1
• Vergleich von beobachteten mit theoretischen Werten

Vergleich mit bekannter Grundgesamtheit

Entspricht die Stichprobe den Anteilen der Grundgesamtheit?

• Demografische Merkmale (Alter, Geschlecht, Herkunft)
• Marktsegmente
• Geografische Verteilungen

Verteilung von Umfrageantworten

Folgen die Antworten den erwarteten Mustern?

• Likert-Skalen-Verteilungen
• Multiple-Choice-Verteilungen

Qualitätskontrolle

Treten Fehlerarten in den erwarteten Anteilen auf? Fallen Produkte in die erwarteten Qualitätsstufen?

Festlegung erwarteter Anteile

Gleichverteilung

Alle Kategorien gleich wahrscheinlich.

Würfel: jeweils 1/6 Wochentage: jeweils 1/7

Theoretische Anteile

Basierend auf Theorie oder Vorwissen.

Mendelsche Genetik: Verhältnis 3:1 → 0,75 und 0,25

Historische/Bevölkerungsanteile

Basierend auf früheren Daten oder einer Referenzpopulation.

Nationale Demografie angewandt auf lokale Stichprobe.

Aus Daten geschätzt

Parameter aus der Stichprobe geschätzt, dann getestet.

Warnung: Das Schätzen von Parametern verbraucht Freiheitsgrade.

Wenn Parameter geschätzt werden

Wenn Sie k Parameter aus den Daten schätzen:

df = Kategorien - 1 - k

Beispiel: Anpassung einer Poisson-Verteilung

• Schätzung von λ aus dem Stichprobenmittelwert (1 Parameter)
• df = Kategorien - 1 - 1 = Kategorien - 2

Dies bestraft das "Hineinschauen" in die Daten zur Festlegung der Erwartungen.

Voraussetzungen

Unabhängigkeit

Die Beobachtungen sind unabhängig - ein Ergebnis beeinflusst kein anderes.

Erwartete Häufigkeiten

Traditionelle Regel: Alle E ≥ 5

Moderne Empfehlung:

• Kein E < 1
• Nicht mehr als 20% der Kategorien mit E < 5

Bei Verletzung: Kategorien zusammenfassen oder exakten Test verwenden.

Zufallsstichprobe

Die Daten repräsentieren eine Zufallsstichprobe aus der interessierenden Grundgesamtheit.

Interpretation der Ergebnisse

Signifikantes Ergebnis (p < α)

Die beobachtete Verteilung weicht von der erwarteten ab. Das Modell passt nicht.

Untersuchen Sie (O-E)/E für jede Kategorie, um zu sehen, welche am meisten abweichen.

Nicht signifikantes Ergebnis (p ≥ α)

Die Daten sind mit der erwarteten Verteilung vereinbar. Man kann nicht schlussfolgern, dass das Modell falsch ist.

Vorsicht: Dies beweist nicht, dass das Modell korrekt ist - nur dass die Daten ihm nicht widersprechen.

Effektgröße

Der Chi-Quadrat-Wert allein zeigt keine Effektgröße an (hängt von n ab).

Optionen für die Effektgröße:

Mittlere quadratische Residuenwurzel: √[Σ(O-E)²/E / n]

Cramers V (für Vergleich mit Baseline): V = √[χ² / (n(k-1))]

Häufige Fehler

Verwechslung mit dem Unabhängigkeitstest

Der Anpassungstest prüft eine Variable gegen Erwartungen. Der Unabhängigkeitstest prüft die Beziehung zwischen zwei Variablen.

Erwartungen nicht im Voraus festlegen

Erwartungen sollten vor Betrachtung der Daten formuliert werden. Post-hoc-Erwartungen erhöhen den Fehler 1. Art.

Kategorien-Zusammenfassung ignorieren

Wenn erwartete Häufigkeiten zu niedrig sind, Kategorien logisch zusammenfassen.

Geschätzte Parameter ohne df-Anpassung testen

Wenn Sie Parameter aus den Daten geschätzt haben, df entsprechend reduzieren.

Zusammenfassung von Kategorien

Wenn einige erwartete Häufigkeiten zu klein sind:

Vorher:

Kategorien D und E haben E < 5.

Nach Zusammenfassung von D und E:

Jetzt sind alle E ≥ 5.

Beispiel: Prüfung Mendelscher Verhältnisse

Experiment: Kreuzung von Erbsenpflanzen, erwartetes Verhältnis 3:1 von gelb zu grün.

Daten: 315 gelb, 108 grün (insgesamt 423)

Erwartet:

• Gelb: 423 × 0,75 = 317,25
• Grün: 423 × 0,25 = 105,75

Chi-Quadrat: χ² = (315-317,25)²/317,25 + (108-105,75)²/105,75 χ² = 0,016 + 0,048 = 0,064

P-Wert: Für df = 1, p = 0,80

Schlussfolgerung: Die Daten sind mit dem Mendelschen Verhältnis 3:1 vereinbar.

Beziehung zu anderen Tests

Binomialtest

Für zwei Kategorien ist der Binomialtest bei kleinen Stichproben genauer.

Chi-Quadrat approximiert den Binomialtest für großes n.

Kolmogorov-Smirnov

Prüft die Anpassung an stetige Verteilungen.

Chi-Quadrat erfordert kategoriale/klassierte Daten.

Likelihood-Ratio (G-Test)

Alternative zu Chi-Quadrat mit ähnlichen Eigenschaften.

G = 2Σ[O × ln(O/E)]

Manche bevorzugen ihn aus theoretischen Gründen.

Ergebnisdarstellung

APA-Format:

"Ein Chi-Quadrat-Anpassungstest ergab, dass die beobachtete Verteilung der Würfelergebnisse nicht signifikant von der Gleichverteilung abwich, χ²(5) = 3,80, p = ,58."

Für signifikante Ergebnisse:

"Ein Chi-Quadrat-Anpassungstest zeigte, dass die Altersverteilung der Kunden signifikant von der nationalen Demografie abwich, χ²(4) = 23,5, p < ,001. Kunden im Alter von 25-34 Jahren waren überrepräsentiert (beobachtet 35%, erwartet 22%)."

Historischer Hintergrund

Karl Pearson führte den Chi-Quadrat-Anpassungstest im Jahr 1900 ein.

Seine ursprüngliche Anwendung war die Prüfung, ob beobachtete Daten zu theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen passen - daher "Anpassungstest" (goodness of fit).

Der Test wurde grundlegend für die Genetik zur Prüfung Mendelscher Vererbung, für die Physik zur Prüfung theoretischer Vorhersagen und quer durch alle Wissenschaften zur Prüfung beliebiger kategorialer Verteilungen.

Verwandte Berechnungen

• Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest — Zwei Variablen
• Binomialtest — Zwei Kategorien exakt
• Chi-Quadrat-Verteilung — P-Werte
• Normalverteilungs-Wahrscheinlichkeitsrechner — Stetige Verteilungen

Zusammenfassung

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest vergleicht beobachtete Kategoriehäufigkeiten mit erwarteten Häufigkeiten, die durch ein theoretisches Modell oder Vorwissen festgelegt sind. Berechnen Sie erwartete Häufigkeiten als n × Anteil, berechnen Sie χ² = Σ(O-E)²/E und vergleichen Sie mit der Chi-Quadrat-Verteilung bei df = k-1 (minus geschätzter Parameter). Die Voraussetzungen erfordern ausreichende erwartete Häufigkeiten in allen Kategorien. Ein signifikantes Ergebnis zeigt an, dass die Daten nicht zur erwarteten Verteilung passen; untersuchen Sie die Residuen, um zu identifizieren, welche Kategorien abweichen. Legen Sie erwartete Anteile immer vor der Datenanalyse fest.