Binomialtest-Rechner

Was ist ein Binomialtest?

Der Binomialtest bestimmt, ob ein beobachteter Anteil von einem erwarteten Anteil abweicht, wenn die Ergebnisse binär sind (Erfolg/Misserfolg). Er liefert exakte Wahrscheinlichkeiten ohne auf die Normalapproximation angewiesen zu sein.

Beantwortete Frage: "Unterscheidet sich die Erfolgsrate von dem, was wir erwartet haben?"

Beispiele:

• "Ist diese Münze fair?" (50% Kopf erwartet)
• "Liegt unsere Konversionsrate über 5%?"
• "Haben mehr Patienten auf die Behandlung angesprochen als zufällig zu erwarten wäre?"

Warum "exakt"?

Der z-Test für Anteile approximiert die Binomialverteilung mit einer Normalverteilung. Diese Approximation kann ungenau sein, wenn:

• Die Stichprobengröße klein ist (n < 30)
• Der Anteil extrem ist (nahe 0 oder 1)
• Exakte p-Werte erforderlich sind

Der Binomialtest: Berechnet exakte Wahrscheinlichkeiten direkt aus der Binomialverteilung.

Die Binomialverteilung

Für n unabhängige Versuche, jeweils mit Erfolgswahrscheinlichkeit p:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Wobei C(n,k) = n! / [k!(n-k)!]

Dies ergibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge.

Wie der Test funktioniert

Zweiseitiger Test

H₀: p = p₀ H₁: p ≠ p₀

p-Wert = P(X ≤ beobachtet oder X ≥ symmetrisches Extrem | p = p₀)

Summiere Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen, die genauso extrem oder extremer als das beobachtete sind, in beiden Richtungen.

Einseitige Tests

Rechtsseitig (H₁: p > p₀): p-Wert = P(X ≥ beobachtet | p = p₀)

Linksseitig (H₁: p < p₀): p-Wert = P(X ≤ beobachtet | p = p₀)

Beispiel: Münztest

Szenario: 60 mal Kopf bei 100 Würfen. Ist die Münze fair?

Aufstellung:

• n = 100
• x = 60 (beobachtete Kopf-Ergebnisse)
• p₀ = 0,5 (erwartet für faire Münze)

Zweiseitiger p-Wert: P(X ≤ 40 oder X ≥ 60 | p = 0,5)

Mit der Binomialverteilung: p-Wert = 0,057

Schlussfolgerung: Knapp nicht signifikant bei α = 0,05. Die beobachteten 60% Kopf sind kein ausreichend starker Beweis gegen eine faire Münze.

Beispiel: Kleine Stichprobe

Szenario: 8 Erfolge bei 10 Versuchen. Liegt die Erfolgsrate über 50%?

Rechtsseitiger Test: P(X ≥ 8 | n = 10, p = 0,5) = P(8) + P(9) + P(10) = 0,044 + 0,010 + 0,001 = 0,055

Schlussfolgerung: Grenzwertig signifikanter Hinweis für Erfolgsrate > 50%.

Mit der z-Approximation wäre dieses Ergebnis aufgrund des kleinen n weniger genau.

Vergleich mit dem z-Test

Richtlinie: Verwende den Binomialtest wenn np₀ < 10 oder n(1-p₀) < 10.

Konfidenzintervalle

Der Binomialtest kann exakte Konfidenzintervalle für p liefern:

Clopper-Pearson-Intervall: Exakt, konservativ.

Diese Intervalle sind oft asymmetrisch und spiegeln die wahre Unsicherheit für Anteile nahe 0 oder 1 wider.

Anwendungen

Qualitätskontrolle

Liegt die Fehlerrate bei oder unter der Spezifikation?

n = 50 Artikel, 4 fehlerhaft Liegt die Fehlerrate > 5%?

Medizinische Diagnostik

Unterscheidet sich die Sensitivität eines diagnostischen Tests vom behaupteten Wert?

n = 30 positive Fälle, 27 korrekt identifiziert Unterscheidet sich die Sensitivität von 95%?

A/B-Tests (kleiner Maßstab)

Bei begrenztem Traffic sind exakte Tests zuverlässiger.

n = 25 Besucher, 5 konvertiert Liegt die Rate > 10%?

Genetik

Testen von Mendelschen Vererbungsverhältnissen.

Beobachtet 45 dominant : 15 rezessiv Erwartetes 3:1-Verhältnis (p = 0,75)

Psychologie

Der Vorzeichentest für gepaarte Vergleiche reduziert sich auf den Binomialtest.

12 von 15 Teilnehmern verbessert Liegt die Verbesserung über dem Zufall (p = 0,5)?

Sportanalyse

Unterscheidet sich die Erfolgsrate eines Spielers vom Ligadurchschnitt?

Spieler: 28 Treffer bei 90 Schlagversuchen Ligadurchschnitt: 0,275

Vorzeichentest

Der Vorzeichentest ist ein Binomialtest auf den Vorzeichen der Differenzen:

Daten: Gepaarte Beobachtungen (vorher, nachher)

Zähle, wie viele Differenzen positiv bzw. negativ sind, ohne Berücksichtigung von Bindungen.

Test: Ist P(positiv) = 0,5?

Wenn die Behandlung keine Wirkung hat, sind positive und negative Differenzen gleich wahrscheinlich.

Mid-p-Korrektur

Der Standard-Binomialtest kann konservativ sein (der exakte p-Wert entspricht selten genau 0,05).

Mid-p-Wert: Zählt die Hälfte der Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ergebnisses.

P_mid = P(extremer) + 0,5 × P(genau beobachtet)

Weniger konservativ, von einigen Statistikern empfohlen.

Einstichproben- vs. Zweistichprobentest

Einstichproben-Binomialtest: Vergleiche Anteil mit bekanntem Wert (dieser Rechner).

Zweistichprobenvergleich: Vergleiche Anteile zwischen Gruppen.

• Verwende Chi-Quadrat- oder z-Test für große Stichproben
• Verwende den Exakten Test nach Fisher für kleine Stichproben

Beziehung zu anderen Tests

Chi-Quadrat-Anpassungstest

Für zwei Kategorien behandeln Chi-Quadrat- und Binomialtest dieselbe Frage.

Der Binomialtest ist exakt; der Chi-Quadrat-Test ist approximiert.

Vorzeichentest

Der Vorzeichentest ist ein Binomialtest auf gepaarten Daten.

McNemar-Test

Für gepaarte binäre Ergebnisse ist der McNemar-Test mit dem Binomialtest verwandt.

Annahmen

Unabhängige Versuche

Das Ergebnis jedes Versuchs ist unabhängig von anderen.

Verletzt wenn: Ergebnisse geclustert sind, dieselbe Person wiederholt ohne geeignetes Design gemessen wird.

Konstante Wahrscheinlichkeit

Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist für alle Versuche gleich.

Verletzt wenn: Bedingungen sich über die Zeit ändern, heterogene Population.

Binäre Ergebnisse

Jeder Versuch hat genau zwei Ergebnisse: Erfolg oder Misserfolg.

Bei mehr als zwei Ergebnissen verwende multinomiale oder Chi-Quadrat-Tests.

Häufige Fehler

Verwendung des z-Tests bei kleinem n

Die Normalapproximation ist schlecht wenn np < 10. Verwende den exakten Binomialtest.

Einseitig ohne Begründung

Spezifiziere die Richtung im Voraus basierend auf der Theorie, nicht nachdem du die Daten gesehen hast.

Ignorieren von Abhängigkeit

Geclusterte Daten verletzen die Unabhängigkeit. Passe an oder verwende andere Methoden.

Fehlinterpretation des p-Werts

p = 0,06 bedeutet nicht, dass H₀ mit 6%iger Wahrscheinlichkeit wahr ist. Es ist P(Daten | H₀ wahr).

Ergebnisse berichten

APA-Format (exakter Test):

"Ein exakter Binomialtest zeigte, dass die beobachtete Erfolgsrate (80%, 8 von 10) sich nicht signifikant von 50% unterschied, p = ,109, zweiseitig."

Für signifikantes Ergebnis:

"Ein exakter Binomialtest ergab, dass die Konversionsrate (15%, 15 von 100) die Basisrate von 10% signifikant übertraf, p = ,046, einseitig, 95%-KI [8,6%, 23,5%]."

Teststärke und Stichprobengröße

Für die Planung:

Die Wahrscheinlichkeit, einen wahren Effekt zu entdecken, hängt ab von:

• Wahrem Anteil (p₁)
• Nullanteil (p₀)
• Stichprobengröße (n)
• Signifikanzniveau (α)

Verwende den Stichprobengrößenrechner für Anteile für die Planung.

Historischer Kontext

Die Binomialverteilung wurde von Jacob Bernoulli in den späten 1600er Jahren entwickelt und 1713 posthum veröffentlicht.

Der exakte Binomialtest wurde mit der Rechenleistung Mitte des 20. Jahrhunderts praktikabel. Vor Computern war die Normalapproximation für Berechnungen notwendig.

Heute werden exakte Tests bevorzugt, wenn machbar, wobei Approximationen für sehr große Stichproben verwendet werden, bei denen exakte Berechnungen langsam sind.

Verwandte Berechnungen

• Ein-Anteil-z-Test — Approximation für große Stichproben
• Binomialwahrscheinlichkeitsrechner — Einzelwahrscheinlichkeit
• Kumulativer Binomialrechner — Kumulative Wahrscheinlichkeiten
• Konfidenzintervall für Anteile — Intervallschätzung
• Exakter Test nach Fisher — Exakter Zweistichprobentest

Zusammenfassung

Der Binomialtest bestimmt, ob ein beobachteter Anteil von einem erwarteten Wert abweicht, indem exakte Wahrscheinlichkeiten aus der Binomialverteilung berechnet werden. Im Gegensatz zur z-Test-Approximation ist er für jede Stichprobengröße und jeden Anteil gültig. Der Test summiert Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen, die genauso extrem oder extremer als das beobachtete sind. Verwende den Binomialtest, wenn Stichproben klein sind, Anteile extrem sind oder exakte p-Werte erforderlich sind. Berichte den beobachteten Anteil, die Stichprobengröße, den hypothetisierten Wert, den exakten p-Wert und das Konfidenzintervall.