Kumulative-Binomialverteilung-Rechner

Berechnen Sie P(X ≤ k) für Binomialversuche.

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Beispiele

n und p eingeben, um die Verteilung zu generieren

Was ist die kumulative Binomialwahrscheinlichkeit?

Während der Binomialverteilungs-Wahrscheinlichkeitsrechner P(X = k) berechnet — die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge — beantworten kumulative Wahrscheinlichkeiten umfassendere Fragen:

  • P(X ≤ k): Höchstens k Erfolge
  • P(X < k): Weniger als k Erfolge
  • P(X ≥ k): Mindestens k Erfolge
  • P(X > k): Mehr als k Erfolge

Diese kumulativen Wahrscheinlichkeiten summieren einzelne Binomialwahrscheinlichkeiten.

Die Formeln

P(X ≤ k) = Σ P(X = i) für i = 0 bis k

P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) = Σ P(X = i) für i = k bis n

P(X < k) = P(X ≤ k-1)

P(X > k) = 1 - P(X ≤ k)

Beispiele

Qualitätskontrolle

„Ein Prozess hat eine Fehlerquote von 5 %. Bei 50 Artikeln: Wie hoch ist P(höchstens 3 Fehlerhafte)?"

n = 50, p = 0,05, gesucht P(X ≤ 3)

P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,077 + 0,202 + 0,261 + 0,220 = 0,760

76 % Wahrscheinlichkeit für 3 oder weniger Fehlerhafte.

Klinische Studien

„Ein Medikament wirkt in 80 % der Fälle. Wenn 20 Patienten es einnehmen: Wie hoch ist P(mindestens 15 sprechen an)?"

n = 20, p = 0,80, gesucht P(X ≥ 15)

P(X ≥ 15) = 1 - P(X ≤ 14) = 0,804

Etwa 80 % Wahrscheinlichkeit für 15 oder mehr positive Reaktionen.

Umfrageanalyse

„30 % unterstützen eine Maßnahme. Bei 100 Befragten: Wie hoch ist P(weniger als 25 Unterstützer)?"

n = 100, p = 0,30, gesucht P(X < 25) = P(X ≤ 24)

P(X ≤ 24) ≈ 0,142

Etwa 14 % Wahrscheinlichkeit.

Spieltheorie

„Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 40 %. Bei 10 Spielen: Wie hoch ist P(mehr als 6 Siege)?"

n = 10, p = 0,40, gesucht P(X > 6) = 1 - P(X ≤ 6)

P(X > 6) = 1 - 0,945 = 0,055

Etwa 5,5 % Wahrscheinlichkeit für 7 oder mehr Siege.

Anwendungen

Hypothesentests für Anteile

Einseitiger Test: „Ist die Erfolgsquote größer als 50 %?"

Beobachte k Erfolge bei n Versuchen. p-Wert = P(X ≥ k) unter der Nullhypothese (p = 0,50)

Dies ist ein exakter Binomialtest.

Stichprobenprüfung

„Akzeptiere eine Charge, wenn höchstens 2 von 50 getesteten Artikeln fehlerhaft sind."

P(gute Charge akzeptieren) = P(X ≤ 2 | p = 0,02) [Produzentenrisiko] P(schlechte Charge akzeptieren) = P(X ≤ 2 | p = 0,10) [Konsumentenrisiko]

Regelkarten

„Der Prozess ist außer Kontrolle, wenn mehr als 3 von 20 aufeinanderfolgenden Punkten außerhalb von 2σ liegen."

Unter Kontrolle: P(Punkt außerhalb 2σ) ≈ 0,05 P(Fehlalarm) = P(X > 3 | n=20, p=0,05)

Sportanalysen

„Die Freiwurfquote eines Spielers beträgt 75 %. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, weniger als 15 von 25 zu treffen?"

P(X < 15 | n=25, p=0,75) hilft bei der Bewertung der Wahrscheinlichkeit einer Unterleistung.

Beziehung zu exakten Wahrscheinlichkeiten

Kumulative Wahrscheinlichkeiten bauen auf exakten Wahrscheinlichkeiten auf:

P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

Umgekehrt ergeben sich exakte Wahrscheinlichkeiten aus kumulativen Differenzen:

P(X = k) = P(X ≤ k) - P(X ≤ k-1)

Normalapproximation

Für große n nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an:

  • Mittelwert μ = np
  • Standardabweichung σ = √(np(1-p))

Mit Stetigkeitskorrektur:

P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 - np) / √(np(1-p)))

Die +0,5 korrigiert den Übergang von diskret zu stetig.

Wann anzuwenden: np ≥ 5 UND n(1-p) ≥ 5

Die Approximation ist schneller für sehr große n, wo die exakte Berechnung langsam ist.

Konfidenzintervalle und Stichprobengröße

Kumulative Binomialwahrscheinlichkeiten bilden die Grundlage für:

  • Clopper-Pearson exakte Konfidenzintervalle für Anteile
  • Stichprobengrößenberechnungen für die Anteilsschätzung
  • Poweranalysen für Anteilstests

Berechnung kumulativer Wahrscheinlichkeiten

Direkte Summierung

Addiere einzelne Terme P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k)

Funktioniert gut für kleine k.

Komplementmethode

Für große k: P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)

Berechne die kleinere Summe und subtrahiere von 1.

Rekursive Berechnung

P(X = k+1) = P(X = k) × (n-k)/(k+1) × p/(1-p)

Beginne mit P(X = 0) = (1-p)ⁿ und iteriere.

Zweiseitige Wahrscheinlichkeiten

Für „extreme" Ereignisse in beide Richtungen:

P(|X - np| ≥ c) = P(X ≤ np - c) + P(X ≥ np + c)

Verwendet bei zweiseitigen Hypothesentests.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Poisson-Approximation: Bei großem n, kleinem p und moderatem np: P(X = k) ≈ e^(-λ) × λ^k / k! wobei λ = np

Beta-Verteilung: Die kumulative Binomialverteilung steht in Beziehung zur unvollständigen Betafunktion, die zur Berechnung exakter Konfidenzintervalle verwendet wird.

Verwandte Berechnungen

Zusammenfassung

Kumulative Binomialwahrscheinlichkeiten beantworten praktische Fragen über „mindestens", „höchstens", „weniger als" oder „mehr als" eine bestimmte Anzahl von Erfolgen. Von Qualitätskontroll-Entscheidungen über Hypothesentests bis hin zur Risikobewertung erweitern diese Wahrscheinlichkeiten das grundlegende Binomial-Framework auf praxisnahe Fragestellungen. Für große n bietet die Normalapproximation mit Stetigkeitskorrektur eine rechnerisch effiziente Alternative.

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