Z-Tabellen-Rechner
Finden Sie die Fläche unter der Normalverteilung.
Einen gültigen Z-Wert eingeben
Geben Sie einen Z-Wert ein, um Wahrscheinlichkeiten nachzuschlagen
Was ist die Z-Tabelle?
Die Z-Tabelle (Standardnormalverteilungstabelle) liefert kumulative Wahrscheinlichkeiten für die Standardnormalverteilung. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Wert aus N(0,1) unter einem bestimmten Z-Wert liegt.
P(Z < z) = die Fläche unter der Kurve links von z
Für z = 1,96: P(Z < 1,96) = 0,975 Das bedeutet, dass 97,5 % der Standardnormalverteilung unter 1,96 liegen.
Die Tabelle lesen
Traditionelle Z-Tabellen sind wie folgt aufgebaut:
- Zeilen: Z-Wert bis zur ersten Dezimalstelle (z. B. 1,9)
- Spalten: zweite Dezimalstelle (z. B. 0,06)
- Schnittpunkt: kumulative Wahrscheinlichkeit (z. B. 0,9750 für z = 1,96)
Dieser Rechner macht das manuelle Nachschlagen in der Tabelle überflüssig.
Häufige Werte
| Z-Wert | P(Z < z) | P(Z > z) |
|---|---|---|
| -3,0 | 0,0013 | 0,9987 |
| -2,0 | 0,0228 | 0,9772 |
| -1,0 | 0,1587 | 0,8413 |
| 0,0 | 0,5000 | 0,5000 |
| 1,0 | 0,8413 | 0,1587 |
| 2,0 | 0,9772 | 0,0228 |
| 3,0 | 0,9987 | 0,0013 |
Anwendungen
Perzentilränge ermitteln
Wenn Ihr Z-Wert 1,5 beträgt, befinden Sie sich im 93,3. Perzentil: P(Z < 1,5) = 0,933
Dies steht in Verbindung mit dem Perzentil-Rechner.
Wahrscheinlichkeit zwischen zwei Werten
P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)
Beispiel: P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826
Etwa 68 % der normalverteilten Daten liegen innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert.
Obere Randwahrscheinlichkeiten berechnen
P(Z > z) = 1 - P(Z < z)
Für z = 2,0: P(Z > 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228
Hypothesentests
Wenn Ihre Teststatistik z = 2,5 beträgt (einseitiger Test): P(Z > 2,5) = 1 - 0,9938 = 0,0062
Der P-Wert-aus-Z-Wert-Rechner automatisiert diese Berechnung.
Die 68-95-99,7-Regel
Aus der Z-Tabelle leiten wir die empirische Regel ab:
- P(-1 < Z < 1) = 0,6827 ≈ 68 %
- P(-2 < Z < 2) = 0,9545 ≈ 95 %
- P(-3 < Z < 3) = 0,9973 ≈ 99,7 %
Für jede Normalverteilung gilt:
- ~68 % innerhalb von 1 Standardabweichung
- ~95 % innerhalb von 2 Standardabweichungen
- ~99,7 % innerhalb von 3 Standardabweichungen
Historischer Kontext
Die Standardnormalverteilungstabelle wurde als rechnerische Abkürzung entwickelt. Vor der Computerära war das Nachschlagen eines einzelnen Wertes in einer gedruckten Tabelle weitaus schneller als die Auswertung des komplexen Integrals der Normaldichte.
Abraham de Moivre (1733) entdeckte die Normalverteilung erstmals bei der Untersuchung der Binomialverteilung.
Carl Friedrich Gauss machte ihre Verwendung in der Astronomie populär, daher der Name „Gauß-Verteilung".
Karl Pearson (1900er Jahre) standardisierte das Tabellenformat, das in Statistik-Lehrbüchern allgegenwärtig wurde.
Heute berechnen Taschenrechner und Software diese Werte direkt, aber das Verständnis der Tabelle schafft Intuition für die Normalverteilung.
Die Standardnormalverteilung
Die Z-Tabelle beschreibt speziell N(0,1):
- Mittelwert (μ) = 0
- Standardabweichung (σ) = 1
- Symmetrisch um Null
- Glockenförmige Kurve
- Gesamtfläche = 1
Jede Normalverteilung N(μ, σ) kann in die Standardnormalverteilung transformiert werden:
z = (x - μ) / σ
Dann verwenden Sie die Z-Tabelle für Wahrscheinlichkeiten.
Symmetrieeigenschaften
Da die Standardnormalverteilung symmetrisch ist:
P(Z < -z) = P(Z > z) P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)
Wenn Sie also wissen, dass P(Z < 1,96) = 0,975:
- P(Z < -1,96) = 1 - 0,975 = 0,025
- P(Z > 1,96) = 0,025
- P(Z > -1,96) = 0,975
Inverse Suche
Manchmal benötigen Sie das Umgekehrte: Bei gegebener Wahrscheinlichkeit den Z-Wert finden.
„Welcher Z-Wert hat 95 % darunter?" Finden Sie 0,95 im Tabellenkörper → z = 1,645
Der Inverse-Normalverteilung-Rechner führt diese Berechnung durch.
Genauigkeit und Präzision
Standard-Z-Tabellen geben Wahrscheinlichkeiten mit 4 Dezimalstellen an. Dieser Rechner bietet höhere Präzision für Forschungsanwendungen.
Für sehr große |z| (über ±3,5) werden die Wahrscheinlichkeiten sehr klein:
- P(Z < -4) ≈ 0,00003
- P(Z < -5) ≈ 0,0000003
Diese Extremwerte sind wichtig in der Qualitätskontrolle (Six Sigma) und Teilchenphysik.
Nicht-standardmäßige Normalverteilung umrechnen
Für X ~ N(μ, σ), um P(X < x) zu finden:
- Standardisieren: z = (x - μ) / σ
- P(Z < z) nachschlagen
- Ergebnis ist P(X < x)
Beispiel: X ~ N(100, 15), finde P(X < 130)
- z = (130 - 100) / 15 = 2,0
- P(Z < 2,0) = 0,9772
- P(X < 130) = 0,9772
Der Normalverteilung-Wahrscheinlichkeit-Rechner erledigt dies direkt.
Verwandte Berechnungen
- Z-Wert-Rechner — In Z-Werte umrechnen
- P-Wert-aus-Z-Wert-Rechner — Hypothesentests
- Normalverteilung-Wahrscheinlichkeit-Rechner — Nicht-standardmäßige Normalverteilung
- Inverse-Normalverteilung-Rechner — Inverse Suche
- Kritischer-Wert-Rechner (z*) — Werte für Konfidenzintervalle
Zusammenfassung
Die Z-Tabelle liefert kumulative Wahrscheinlichkeiten für die Standardnormalverteilung – die Grundlage der meisten statistischen Schlussfolgerungen. Durch Standardisierung jeder Normalvariablen zu Z-Werten können Sie diese eine Tabelle für alle Wahrscheinlichkeitsberechnungen verwenden. Die Tabelle kodiert die 68-95-99,7-Regel und die kritischen Werte, die bei Hypothesentests und Konfidenzintervallen verwendet werden. Obwohl Computer das manuelle Nachschlagen in Tabellen ersetzt haben, baut das Verständnis der Z-Tabelle wesentliche Intuition für statistisches Denken auf.