Poisson-Wahrscheinlichkeit-Rechner

Was ist die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl von Ereignissen, die in einem festen Intervall auftreten, wenn Ereignisse unabhängig voneinander mit einer konstanten durchschnittlichen Rate eintreten.

Parameter:

• λ (Lambda) = durchschnittliche Ereignisrate pro Intervall

Die Frage: Wie groß ist P(X = k), die Wahrscheinlichkeit von genau k Ereignissen?

Die Formel

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

Dabei ist $e \approx 2{,}71828$ die Eulersche Zahl.

Beispiel: Ein Callcenter erhält durchschnittlich 4 Anrufe pro Stunde. Wie groß ist P(genau 6 Anrufe in der nächsten Stunde)?

$P(X = 6) = \frac{e^{-4} \times 4^6}{6!} = \frac{0{,}0183 \times 4096}{720} = 0{,}104$

Etwa 10,4 % Wahrscheinlichkeit.

Wann gilt die Poisson-Verteilung?

Die Poisson-Verteilung erfordert:

1. Ereignisse treten unabhängig auf: Ein Ereignis beeinflusst andere nicht
2. Konstante Rate: Die durchschnittliche Rate ändert sich im Intervall nicht
3. Proportional zum Intervall: Die Wahrscheinlichkeit skaliert mit der Intervalllänge
4. Seltene Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit von 2+ Ereignissen in winzigen Intervallen ist vernachlässigbar

Klassische Beispiele

• Anrufe in einem Callcenter pro Stunde
• Tippfehler pro Seite
• Autos, die einen Punkt pro Minute passieren
• Radioaktive Zerfallsereignisse pro Sekunde
• Serveranfragen pro Minute
• Tore in einem Fußballspiel
• Unfälle an einer Kreuzung pro Jahr

Nicht geeignet für

• Ereignisse, die dazu neigen, sich zu häufen (negative Binomialverteilung verwenden)
• Ereignisse mit variierenden Raten (nicht-homogene Poisson-Verteilung verwenden)
• Ereignisse, die nicht unabhängig sind

Anwendungen

Warteschlangentheorie

„Eine Bank hat durchschnittlich 3 Kunden pro Stunde. Wie groß ist P(genau 5 Kunden in einer Stunde)?"

λ = 3, k = 5 P(X = 5) = (e^(-3) × 3^5) / 5! = 0,101

Zuverlässigkeitstechnik

„Eine Maschine fällt durchschnittlich 2-mal pro Jahr aus. Wie groß ist P(0 Ausfälle im nächsten Jahr)?"

λ = 2, k = 0 P(X = 0) = e^(-2) × 2^0 / 0! = 0,135

Etwa 13,5 % Wahrscheinlichkeit für keine Ausfälle.

Biologie

„Ein Mikroskop-Objektträger hat durchschnittlich 8 Bakterien pro cm². Wie groß ist P(genau 10 in einem gegebenen cm²)?"

λ = 8, k = 10 P(X = 10) = (e^(-8) × 8^10) / 10! = 0,099

Sportanalytik

„Ein Team erzielt durchschnittlich 1,5 Tore pro Spiel. Wie groß ist P(genau 2 Tore)?"

λ = 1,5, k = 2 P(X = 2) = (e^(-1,5) × 1,5²) / 2! = 0,251

Versicherung

„Schadenmeldungen treffen durchschnittlich mit 0,5 pro Tag ein. Wie groß ist P(3+ Schadenmeldungen morgen)?"

P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]

Mittelwert und Varianz

Eine einzigartige Eigenschaft der Poisson-Verteilung:

$E(X) = \lambda$

$Var(X) = \lambda$

$SD(X) = \sqrt{\lambda}$

Der Mittelwert entspricht der Varianz. Wenn beobachtete Daten eine Varianz haben, die sich stark vom Mittelwert unterscheidet, passt das Poisson-Modell möglicherweise nicht.

Änderung des Intervalls

Wenn λ die Rate pro Zeiteinheit ist, gilt für ein anderes Intervall:

• Rate für 2 Stunden = 2λ
• Rate für eine halbe Stunde = λ/2
• Rate für ein beliebiges Intervall t = λt

Beispiel: Bei 4 Anrufen pro Stunde gilt:

• Pro 30 Minuten: λ = 2
• Pro 2 Stunden: λ = 8

Historische Entwicklung

Siméon Denis Poisson (1781-1840) führte die Verteilung 1837 ein, als er die Wahrscheinlichkeit von Verurteilungen in Gerichtsverfahren untersuchte.

Die Verteilung wurde berühmt durch Ladislaus Bortkiewiczs Analyse von 1898 über preußische Kavalleriesoldaten, die durch Pferdetritte getötet wurden – ein klassisches Beispiel für seltene Ereignisse.

A.K. Erlang wandte Poisson-Prozesse Anfang der 1900er Jahre auf die Modellierung von Telefonanrufen an und begründete damit die Warteschlangentheorie.

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Poisson-Verteilung ergibt sich als Grenzwert der Binomialverteilung:

Wenn n → ∞, p → 0 und np → λ, dann gilt:

Binomial(n, p) → Poisson(λ)

Faustregel: Wenn n ≥ 20 und p ≤ 0,05, verwenden Sie Poisson mit λ = np.

Dies erklärt, warum Poisson für seltene Ereignisse funktioniert: viele Versuche (n), kleine Wahrscheinlichkeit (p), moderate erwartete Anzahl (λ = np).

Kumulative Wahrscheinlichkeiten

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$

$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

Beispiel: „Wie groß ist P(mindestens 3 Anrufe)?"

P(X ≥ 3) = 1 - [P(0) + P(1) + P(2)]

Normalapproximation

Für großes $\lambda$ (typischerweise $\lambda > 10$):

$X \sim N(\lambda, \sqrt{\lambda})$ näherungsweise

Mit Stetigkeitskorrektur:

$P(X \leq k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0{,}5 - \lambda}{\sqrt{\lambda}}\right)$

Überdispersion

Wenn Varianz > Mittelwert, zeigen die Daten „Überdispersion" – mehr Variabilität als Poisson vorhersagt. Ursachen sind:

• Häufung von Ereignissen
• Heterogene Raten zwischen Subjekten
• Korrelation zwischen Ereignissen

Lösungen: Negative Binomialregression, Quasi-Poisson-Modelle.

Poisson-Regression

Bei der Modellierung von Zähldaten mit Prädiktoren:

$\log(\lambda) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots$

Koeffizienten werden zu Ratenverhältnissen exponenziert:

• $e^{\beta_1}$ = multiplikativer Effekt auf die Rate pro Einheitserhöhung in $X_1$

Verwandte Berechnungen

• Poisson-Ratenrechner — λ aus Daten schätzen
• Binomialverteilung-Wahrscheinlichkeitsrechner — Diskrete Alternative
• Normalverteilung-Wahrscheinlichkeitsrechner — Approximation für großes λ
• Konfidenzintervall für Mittelwert — Intervall für λ

Zusammenfassung

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl unabhängiger Ereignisse, die mit einer konstanten durchschnittlichen Rate λ auftreten. Von Callcentern über radioaktiven Zerfall bis hin zu Sportergebnissen beantworten Poisson-Wahrscheinlichkeiten Fragen über Ereigniszählungen. Die Schlüsseleigenschaft der Verteilung – Mittelwert gleich Varianz – bietet eine Überprüfung der Modellanpassung. Als Grenzwert der Binomialverteilung für seltene Ereignisse ist die Poisson-Verteilung fundamental für die Wahrscheinlichkeitstheorie und wird in der Warteschlangentheorie, Zuverlässigkeitstechnik und Zähldatenanalyse breit angewendet.