Freiheitsgrade-Rechner
Berechnen Sie df für gängige Tests.
Anzahl der Beobachtungen
Testart auswählen und Parameter eingeben
Oder eines der obigen Beispiele ausprobieren
Was sind Freiheitsgrade?
Freiheitsgrade (df) stellen die Anzahl unabhaengiger Informationsstuecke dar, die zur Schaetzung eines Parameters verfuegbar sind. Wenn Sie Daten zur Schaetzung verwenden, "verlieren" Sie Freiheitsgrade.
Einfaches Beispiel: Mit 10 Datenpunkten haben Sie 10 Informationsstuecke. Wenn Sie den Mittelwert schaetzen, verwenden Sie eines. Fuer die Schaetzung der Varianz verbleiben 10 - 1 = 9 df.
Warum Freiheitsgrade wichtig sind
Freiheitsgrade bestimmen:
- Die Form der t-, Chi-Quadrat- und F-Verteilungen
- Kritische Werte fuer Hypothesentests
- Die Breite von Konfidenzintervallen
Die Verwendung falscher df fuehrt zu falschen p-Werten und Konfidenzintervallen.
Gaengige Formeln
Einstichproben-t-Test
df = n - 1
Testet, ob ein Stichprobenmittelwert von einem hypothetischen Wert abweicht.
Beispiel: n = 25 → df = 24
Gepaarter t-Test
df = n - 1
Wobei n = Anzahl der Paare.
Beispiel: 30 Paare → df = 29
Zweistichproben-t-Test (Gepoolt)
df = n₁ + n₂ - 2
Vergleicht Mittelwerte zweier unabhaengiger Gruppen unter der Annahme gleicher Varianzen.
Beispiel: n₁ = 20, n₂ = 25 → df = 43
Zweistichproben-t-Test (Welch)
df = [(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)²] / [(s₁²/n₁)²/(n₁-1) + (s₂²/n₂)²/(n₂-1)]
Dies ergibt oft nicht-ganzzahlige df.
Beispiel: Kann df = 41,7 ergeben
Chi-Quadrat-Anpassungstest
df = k - 1 - p
Wobei k = Kategorien, p = geschaetzte Parameter.
Beispiel: 6 Kategorien, keine geschaetzten Parameter → df = 5
Chi-Quadrat-Unabhaengigkeitstest
df = (r - 1)(c - 1)
Fuer eine r × c Kontingenztafel.
Beispiel: 3 × 4 Tabelle → df = 2 × 3 = 6
Einfaktorielle ANOVA
Zwischen Gruppen: df₁ = k - 1 Innerhalb der Gruppen: df₂ = n - k
Wobei k = Gruppen, n = Gesamtzahl der Beobachtungen.
Beispiel: 4 Gruppen, 60 Beobachtungen → df₁ = 3, df₂ = 56
Zweifaktorielle ANOVA
Faktor A: df = a - 1 Faktor B: df = b - 1 Wechselwirkung: df = (a-1)(b-1) Fehler: df = n - ab
Einfache lineare Regression
Modell: df₁ = 1 Fehler: df₂ = n - 2 Gesamt: df = n - 1
Multiple Regression
Modell: df₁ = p (Anzahl der Praediktoren) Fehler: df₂ = n - p - 1 Gesamt: df = n - 1
Testen einzelner Koeffizienten: df = n - p - 1
Die Intuition hinter df
Nebenbedingungen reduzieren Freiheit
Wenn Sie den Mittelwert von 10 Zahlen kennen, koennen nur 9 frei variieren - die 10. ist festgelegt.
Mittelwert-Nebenbedingung: 10 Werte, 1 Nebenbedingung → 9 df
Mehrere Nebenbedingungen
Wenn Sie sowohl Mittelwert als auch Varianz kennen, haben Sie 2 Informationsstuecke verwendet.
Zwei Nebenbedingungen: 10 Werte - 2 = 8 df
Gruppenmittelwerte
Bei der ANOVA ist jeder Gruppenmittelwert eine Nebenbedingung. Mit k Gruppen:
- Innerhalb der Gruppe: n - k df (k verloren fuer Gruppenmittelwerte)
- Zwischen den Gruppen: k - 1 df (k Mittelwerte, eingeschraenkt durch den Gesamtmittelwert)
Historische Entwicklung
Das Konzept entstand aus der Arbeit von Ronald Fisher in den 1920er Jahren.
Fisher erkannte, dass die mit n im Nenner berechnete Stichprobenvarianz verzerrt war. Die Verwendung von n - 1 (den Freiheitsgraden) korrigierte diese Verzerrung.
Er verallgemeinerte das Konzept, um zu zeigen, dass verschiedene Statistiken unterschiedliche effektive Stichprobengroessen fuer die Variabilitaetsschaetzung haben.
Die t-Verteilung nach Student verwendet df, um die Unsicherheit bei der Schaetzung der Varianz aus der Stichprobe zu beruecksichtigen.
Nicht-ganzzahlige Freiheitsgrade
Der Welch-t-Test und einige andere Verfahren ergeben nicht-ganzzahlige df:
df = 23,7
Moderne Rechner und Software verarbeiten diese direkt mit kontinuierlichen t-Verteilungsfunktionen. Frueher erforderten Tabellen eine Rundung (normalerweise nach unten aus Vorsicht).
df und Verteilungsform
t-Verteilung
| df | Form | t₀,₉₇₅ |
|---|---|---|
| 1 | Sehr schwere Enden | 12,71 |
| 5 | Schwere Enden | 2,57 |
| 10 | Moderate Enden | 2,23 |
| 30 | Nahezu normal | 2,04 |
| ∞ | Normal | 1,96 |
Chi-Quadrat-Verteilung
| df | Form | Mittelwert |
|---|---|---|
| 1 | Stark rechtsschief | 1 |
| 5 | Rechtsschief | 5 |
| 30 | Maessig schief | 30 |
Mittelwert = df fuer Chi-Quadrat.
F-Verteilung
F hat zwei df-Parameter, die sowohl die Zaehler- als auch die Nennervariabilitaet beeinflussen.
Residuale Freiheitsgrade
Bei der Regression:
Residuale df = n - p - 1
Wobei p = Anzahl der Praediktoren. Dies sind die df fuer:
- Standardfehler der Regression
- t-Tests fuer Koeffizienten
- Konfidenzintervalle
Wenn Sie Praediktoren hinzufuegen, sinken die residualen df, was die Schaetzungen weniger praezise macht.
Gesamt-df vs. Fehler-df
Gesamt-df = n - 1 (immer)
Dies gliedert sich in:
- Modell-df (erklaerte Variation)
- Fehler-df (unerklaerte Variation)
Modell-df + Fehler-df = Gesamt-df
Haeufige Fehler
Geschaetzte Parameter vergessen: Beim Anpassungstest verlieren Sie 1 df, wenn Sie den Mittelwert aus den Daten geschaetzt haben.
Falsche Zweistichproben-Formel: Gepoolt verwendet n₁ + n₂ - 2; Welch verwendet eine komplexe Formel.
Gepaart vs. unabhaengig: Gepaart verwendet n - 1 (Paare); unabhaengig verwendet n₁ + n₂ - 2.
Verwandte Berechnungen
- t-Verteilungsrechner - Verwendet df
- Chi-Quadrat-Verteilungsrechner - Verwendet df
- F-Verteilungsrechner - Verwendet zwei df
- Konfidenzintervall fuer Mittelwert - df beeinflusst die Breite
- Kritischer-Wert-Rechner (t*) - df bestimmt t*
Zusammenfassung
Freiheitsgrade zaehlen die unabhaengigen Informationsstuecke, die nach der Parameterschaetzung verbleiben. Sie bestimmen die Form der t-, Chi-Quadrat- und F-Verteilungen und beeinflussen somit kritische Werte und p-Werte. Jeder statistische Test hat seine eigene df-Formel - von einfach (n - 1 fuer den Einstichproben-t-Test) bis komplex (Welchs Formel fuer nicht-ganzzahlige df). Die korrekte Bestimmung von df ist entscheidend fuer eine gueltige statistische Inferenz.