Friedman-Test-Rechner

Verwenden Sie den Friedman-Test, wenn Sie drei oder mehr Behandlungen oder Bedingungen vergleichen möchten, wobei dieselben Personen (oder zugeordnete Probanden) alle Bedingungen durchlaufen. Wenn beispielsweise Patienten ihre Schmerzen nach dem Ausprobieren von drei verschiedenen Medikamenten bewerten oder Juroren dieselbe Produktreihe beurteilen, zeigt Ihnen dieser Test, ob die Bedingungen wirklich unterschiedliche Ergebnisse liefern — ohne dass Ihre Daten einer Normalverteilung folgen müssen.

Was ist der Friedman-Test?

Der Friedman-Test ist die nicht-parametrische Alternative zur Varianzanalyse mit Messwiederholung. Er vergleicht drei oder mehr verbundene Gruppen (dieselben Probanden werden unter verschiedenen Bedingungen gemessen).

Beantwortete Frage: „Haben Behandlungen/Bedingungen unterschiedliche Auswirkungen, wenn dieselben Probanden alle Bedingungen durchlaufen?"

Beispiele:

• Vergleich von Schmerzniveaus unter 3 verschiedenen Medikamenten (jeder Patient probiert alle 3)
• Bewertung von 4 Produkten durch dieselbe Jury
• Messung der Leistung zu 5 Zeitpunkten bei denselben Probanden

Funktionsweise

Schritt 1: Daten in Blöcken anordnen

Jeder Proband (Block) durchläuft alle Bedingungen:

Schritt 2: Rangbildung innerhalb jedes Probanden

Vergeben Sie Ränge von 1 (niedrigster) bis k (höchster) innerhalb jeder Zeile:

Schritt 3: Rangsummen für jede Bedingung

• $R_A = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$
• $R_B = 3 + 2 + 2 + 2 = 9$
• $R_C = 2 + 3 + 3 + 3 = 11$

Schritt 4: Berechnung der Teststatistik

$\chi^2_F = \frac{12}{nk(k+1)} \sum_{j=1}^{k} R_j^2 - 3n(k+1)$

Wobei:

• n = Anzahl der Probanden (Blöcke)
• k = Anzahl der Bedingungen
• $R_j$ = Rangsumme für Bedingung j

$\chi^2_F = \frac{12}{4 \times 3 \times 4}(16 + 81 + 121) - 3 \times 4 \times 4$

$= \frac{12}{48}(218) - 48 = 54,5 - 48 = 6,5$

Schritt 5: Bestimmung des p-Werts

Vergleich mit der Chi-Quadrat-Verteilung mit $k - 1$ Freiheitsgraden.

Für $\chi^2_F = 6,5$, df = 2: $p = 0,039$

Schlussfolgerung: Signifikanter Unterschied zwischen den Bedingungen ($p = 0,039$).

Umgang mit Bindungen

Bei gleichen Werten innerhalb eines Probanden werden mittlere Ränge vergeben.

Wenden Sie eine Bindungskorrektur auf die Teststatistik an, wenn Bindungen häufig vorkommen.

Post-hoc-Tests

Ein signifikanter Friedman-Test zeigt an, dass sich mindestens eine Bedingung unterscheidet, aber nicht welche.

Nemenyi-Test

Das gebräuchlichste Post-hoc-Verfahren:

Kritische Differenz: $CD = q_\alpha \sqrt{\frac{k(k+1)}{6n}}$

Vergleichen Sie paarweise Rangsummendifferenzen mit CD.

Conover-Test

Leistungsfähigere Alternative unter Verwendung der t-Verteilung.

Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests mit Bonferroni-Korrektur

Führen Sie paarweise Wilcoxon-Tests durch und passen Sie α für multiple Vergleiche an.

Effektgröße

Kendalls W (Konkordanzkoeffizient)

$W = \frac{\chi^2_F}{n(k-1)}$

Aus unserem Beispiel: $W = 6,5 / (4 \times 2) = 0,81$ (großer Effekt)

Vergleich mit Varianzanalyse mit Messwiederholung

Annahmen

Verbundene Gruppen

Dieselben Probanden werden unter allen Bedingungen gemessen (oder zugeordnete Probanden).

Unabhängige Blöcke

Verschiedene Probanden sind voneinander unabhängig.

Mindestens Ordinalskala

Daten können innerhalb jedes Probanden sinnvoll rangiert werden.

Ähnliche Verteilungsform

Die Bedingungen sollten ähnlich geformte Verteilungen aufweisen.

Beispiel: Vollständige Analyse

Szenario: 8 Juroren bewerten 4 Weine auf einer Skala von 0-100.

Rangbildung innerhalb jedes Jurors:

Rangsummen: A = 8, B = 31, C = 16, D = 25

$\chi^2_F = \frac{12}{8 \times 4 \times 5}(64 + 961 + 256 + 625) - 3 \times 8 \times 5$

$= \frac{12}{160}(1906) - 120 = 142,95 - 120 = 22,95$

p-Wert: $p < 0,0001$

Kendalls W: $22,95 / (8 \times 3) = 0,96$

Schlussfolgerung: Hochsignifikanter Unterschied in den Weinbewertungen ($\chi^2_F = 22,95$, $p < 0,0001$). Sehr hohe Übereinstimmung unter den Juroren ($W = 0,96$).

Anwendungsgebiete

Medizinische Forschung

• Crossover-Medikamentenstudien
• Messwiederholungen mit ordinalen Ergebnissen
• Lebensqualitätsbewertungen im Zeitverlauf

Psychologie

• Within-Subject-Experimente
• Bewertungsstudien
• Wiederholte Testungen

Sensorische Bewertung

• Paneltests von Produkten
• Geschmackstests
• Qualitätsvergleiche

Bildung

• Schülerleistung über mehrere Tests hinweg
• Vergleiche von Kursbewertungen

Häufige Fehler

Verwendung für unabhängige Gruppen

Der Friedman-Test ist für verbundene Gruppen. Verwenden Sie den Kruskal-Wallis-Test für unabhängige Gruppen.

Rangbildung über alle Daten

Ränge sollten innerhalb jedes Probanden vergeben werden, nicht über den gesamten Datensatz.

Ignorieren von Post-hoc-Tests

Ein signifikantes Ergebnis erfordert Folgetests, um festzustellen, welche Bedingungen sich unterscheiden.

Kleine Stichprobengrößen

Bei wenigen Probanden (n < 10) sollten Sie exakte p-Werte anstelle der Chi-Quadrat-Approximation in Betracht ziehen.

Ergebnisdarstellung

APA-Format:

„Ein Friedman-Test zeigte einen signifikanten Unterschied in den Weinbewertungen über die vier Weine hinweg, χ²(3) = 22,95, p < 0,001, W = 0,96. Post-hoc-Nemenyi-Tests ergaben, dass Wein B signifikant höher bewertet wurde als Wein A (p < 0,001) und Wein C (p = 0,02), während Wein D höher bewertet wurde als Wein A (p = 0,01)."

Historischer Kontext

Milton Friedman (der Wirtschaftswissenschaftler, nicht zu verwechseln mit dem Test) entwickelte diesen Test 1937 im Rahmen seiner Arbeit über Rangverfahren in der Statistik.

Der Test erweiterte das Konzept des Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Tests auf mehrere verbundene Gruppen und bietet eine nicht-parametrische Alternative zur Varianzanalyse mit Messwiederholung.

Erweiterungen

Page-Test

Wenn die Bedingungen eine vorhergesagte Reihenfolge haben (z. B. Dosis-Wirkungs-Beziehung), ist der Page-Test leistungsfähiger als der Friedman-Test.

Durbin-Test

Für unvollständige Blockdesigns, bei denen nicht jeder Proband jede Bedingung durchläuft.

Verwandte Berechnungen

• Varianzanalyse mit Messwiederholung — Parametrische Alternative
• Kruskal-Wallis-Test — Unabhängige Gruppen
• Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test — Zwei verbundene Gruppen
• Einfaktorielle Varianzanalyse — Unabhängige Gruppen, parametrisch

Zusammenfassung

Der Friedman-Test vergleicht drei oder mehr verbundene Gruppen ohne Normalverteilungsannahme. Ordnen Sie Beobachtungen innerhalb jedes Probanden in Ränge ein, summieren Sie die Ränge für jede Bedingung und berechnen Sie die Chi-Quadrat-Statistik. Signifikante Ergebnisse erfordern Post-hoc-Tests (Nemenyi oder Conover), um festzustellen, welche Bedingungen sich unterscheiden. Berichten Sie Kendalls W als Effektgröße. Verwenden Sie den Test für Messwiederholungen mit ordinalen Daten oder wenn die Normalverteilungsannahme verletzt ist. Der Test ist robust gegenüber Ausreißern und funktioniert mit jeder Verteilungsform.