Kolmogorov-Smirnov-Test-Rechner

Was ist der Kolmogorov-Smirnov-Test?

Der Kolmogorov-Smirnov-Test (K-S-Test) ist ein nichtparametrischer Test, der Verteilungen vergleicht. Er kann prüfen, ob eine Stichprobe aus einer bestimmten theoretischen Verteilung stammt (Einstichprobentest) oder ob zwei Stichproben aus derselben Verteilung stammen (Zweistichprobentest). Im Gegensatz zu Tests, die spezifische Parameter wie Mittelwerte vergleichen, ist der K-S-Test empfindlich gegenüber jeder Unterschied in Form, Lage oder Streuung der Verteilung.

Der Test ist nach den russischen Mathematikern Andrei Kolmogorow und Nikolai Smirnow benannt, die ihn in den 1930er Jahren entwickelten.

Die K-S-Statistik

Die Teststatistik D misst die maximale absolute Differenz zwischen kumulativen Verteilungsfunktionen (CDFs):

$D = \sup_x |F_n(x) - F(x)|$

Wobei:

• $F_n(x)$ die empirische Verteilungsfunktion der Stichprobe ist
• $F(x)$ die theoretische Verteilungsfunktion (Einstichprobentest) oder die empirische Verteilungsfunktion der anderen Stichprobe (Zweistichprobentest) ist
• $\sup$ das Supremum (Maximum) bezeichnet

Die empirische Verteilungsfunktion ist eine Treppenfunktion, die bei jedem Datenpunkt um $1/n$ ansteigt.

Einstichprobentest

Der Einstichproben-K-S-Test vergleicht Ihre Daten mit einer theoretischen Verteilung. Häufige Anwendungen sind:

Prüfung auf Normalverteilung

Bevor Sie parametrische Tests verwenden, die Normalverteilung voraussetzen, können Sie den K-S-Test verwenden, um diese Annahme zu überprüfen. Allerdings ist der Shapiro-Wilk-Test für die Normalverteilungsprüfung im Allgemeinen leistungsfähiger.

Anpassungsgüte

Jede vollständig spezifizierte stetige Verteilung kann getestet werden: Normal-, Exponential-, Gleichverteilung usw. Die wichtigste Voraussetzung ist, dass alle Parameter im Voraus festgelegt und nicht aus den Daten geschätzt werden müssen.

Wichtig: Wenn Sie Parameter (wie Mittelwert und Standardabweichung) aus Ihrer Stichprobe schätzen und dann gegen diese Verteilung testen, sind die Standard-K-S-kritischen Werte zu konservativ. Verwenden Sie stattdessen den Lilliefors-Test, um die Normalverteilung mit geschätzten Parametern zu testen.

Zweistichprobentest

Der Zweistichproben-K-S-Test vergleicht zwei unabhängige Stichproben, um festzustellen, ob sie aus derselben Verteilung stammen. Dies ist nützlich, wenn:

• Sie Gruppen vergleichen möchten, ohne eine bestimmte Verteilung anzunehmen
• Die Stichprobengrößen klein sind
• Die Daten möglicherweise nicht normalverteilt sind

Die Teststatistik des Zweistichprobentests lautet:

$D_{n,m} = \sup_x |F_n(x) - G_m(x)|$

Wobei $F_n$ und $G_m$ die empirischen Verteilungsfunktionen der beiden Stichproben sind.

Vorteile

Verteilungsfrei

Der K-S-Test macht keine Annahmen über die zugrundeliegende Verteilung (im Zweistichprobenfall). Dies macht ihn vielseitig anwendbar.

Empfindlich für mehrere Aspekte

Im Gegensatz zu t-Tests, die nur Mittelwerte vergleichen, erkennt der K-S-Test Unterschiede in:

• Lage (zentrale Tendenz)
• Skalierung (Streuung)
• Form (Schiefe, Wölbung)

Exakte Verteilung bekannt

Die Nullverteilung der K-S-Statistik ist exakt bekannt, was eine präzise Berechnung des p-Werts ermöglicht.

Einschränkungen

Nur für stetige Daten

Der K-S-Test ist für stetige Verteilungen konzipiert. Bei diskreten Daten wird der Test konservativ (weniger leistungsfähig).

Empfindlichkeit gegenüber Randbereichen

Der K-S-Test ist am empfindlichsten für Unterschiede in der Mitte der Verteilung und weniger empfindlich für Unterschiede in den Randbereichen. Der Anderson-Darling-Test behebt dies, indem er den Unterschieden in den Randbereichen mehr Gewicht verleiht.

Problem der Parameterschätzung

Die Verwendung geschätzter Parameter macht die Standard-kritischen Werte ungültig, wie oben erwähnt.

Praktische Anwendungen

Qualitätskontrolle

Vergleich von Produktmessungen mit Spezifikationsverteilungen zur Überprüfung von Fertigungsprozessen.

Finanzen

Prüfung, ob Aktienrenditen angenommenen Verteilungen wie Normal- oder Log-Normalverteilung folgen.

Umweltwissenschaften

Vergleich von Schadstoffmessungen über verschiedene Standorte oder Zeiträume hinweg.

A/B-Tests

Vergleich ganzer Antwortverteilungen, nicht nur der Mittelwerte, zwischen Behandlungs- und Kontrollgruppen.

Verwandte Tests

• Shapiro-Wilk-Test — Leistungsfähiger für Normalverteilungsprüfung
• Chi-Quadrat-Anpassungstest — Für diskrete Verteilungen
• Mann-Whitney-U-Test — Vergleicht Mediane/Ränge
• Levene-Test — Vergleicht spezifisch Varianzen

Zusammenfassung

Der Kolmogorov-Smirnov-Test ist eine vielseitige nichtparametrische Methode zum Vergleich von Verteilungen. Seine Fähigkeit, jeden Verteilungsunterschied zu erkennen, macht ihn wertvoll für explorative Analysen und die Überprüfung von Annahmen. Obwohl er nicht der leistungsfähigste Test für spezifische Alternativen ist (wie Unterschiede in Mittelwerten), machen seine Allgemeingültigkeit und exakte Nullverteilung ihn zu einem grundlegenden Werkzeug in der statistischen Analyse.