Propensity-Score-Rechner

Verwenden Sie Propensity Scores, um Confounding in Beobachtungsstudien zu reduzieren, wenn eine Randomisierung nicht möglich ist. Der Propensity Score gleicht Behandlungs- und Kontrollgruppen hinsichtlich beobachteter Kovariaten aus und ahmt so ein randomisiertes Experiment nach.

Was ist ein Propensity Score?

Der Propensity Score ist die Wahrscheinlichkeit, eine Behandlung zu erhalten, gegeben die beobachteten Kovariaten:

$e(X) = P(T = 1 | X)$

Wobei:

• T = Behandlungsindikator (1 = behandelt, 0 = Kontrolle)
• X = Vektor der beobachteten Kovariaten

Warum Propensity Scores funktionieren

Zentrales Theorem (Rosenbaum & Rubin, 1983): Wenn die Behandlungszuweisung gegeben X ignorierbar ist, ist sie auch gegeben e(X) ignorierbar.

Das bedeutet, anstatt auf viele Kovariaten zu matchen, können Sie auf einen einzigen Score matchen.

Schätzung von Propensity Scores

Logistische Regression (Am häufigsten)

$\log\left(\frac{e(X)}{1-e(X)}\right) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + ... + \beta_k X_k$

Führen Sie eine logistische Regression mit der Behandlung als Ergebnis und den Kovariaten als Prädiktoren durch.

Alternative Methoden

Machine-Learning-Methoden können die Vorhersage verbessern, reduzieren aber die Interpretierbarkeit.

Verwendung von Propensity Scores

1. Matching

Paaren Sie behandelte Einheiten mit Kontrolleinheiten, die ähnliche Propensity Scores haben.

Nearest-Neighbor-Matching: Für jede behandelte Einheit finden Sie die Kontrolle mit dem nächstgelegenen Propensity Score.

Caliper-Matching: Matchen Sie nur, wenn |e_behandelt - e_kontrolle| < Caliper (oft 0,2 × SD des Propensity Scores).

1:k-Matching: Matchen Sie jede behandelte Einheit mit k Kontrollen (erhöht die Präzision, kann die Balance reduzieren).

2. Stratifizierung (Subklassifikation)

Teilen Sie die Stichprobe basierend auf Propensity-Score-Quintilen in Strata auf:

$\hat{ATE} = \sum_{s=1}^{5} \frac{n_s}{N} (\bar{Y}_{1s} - \bar{Y}_{0s})$

Fünf Strata entfernen typischerweise 90% des Bias durch gemessene Confounder.

3. Inverse Wahrscheinlichkeitsgewichtung (IPW)

Gewichten Sie jede Beobachtung mit dem Inversen des Propensity Scores:

Für Behandelte: $w = \frac{1}{e(X)}$

Für Kontrollen: $w = \frac{1}{1-e(X)}$

IPW-Schätzer für ATE: $\hat{ATE}_{IPW} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[\frac{T_i Y_i}{e(X_i)} - \frac{(1-T_i)Y_i}{1-e(X_i)}\right]$

4. Doppelt robuste Schätzung

Kombiniert Ergebnismodellierung mit Propensity-Gewichtung:

$\hat{ATE}_{DR} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[\hat{m}_1(X_i) - \hat{m}_0(X_i) + \frac{T_i(Y_i - \hat{m}_1(X_i))}{e(X_i)} - \frac{(1-T_i)(Y_i - \hat{m}_0(X_i))}{1-e(X_i)}\right]$

Konsistent, wenn entweder das Propensity- oder das Ergebnismodell korrekt ist.

Überprüfung der Balance

Nach der Anwendung von Propensity Scores überprüfen Sie, ob die Kovariaten zwischen den Gruppen ausbalanciert sind.

Standardisierte Mittelwertdifferenz (SMD)

$SMD = \frac{\bar{X}_{behandelt} - \bar{X}_{kontrolle}}{\sqrt{(s^2_{behandelt} + s^2_{kontrolle})/2}}$

Ziel: |SMD| < 0,1 für alle Kovariaten

Varianzverhältnis

$VR = \frac{s^2_{behandelt}}{s^2_{kontrolle}}$

Ziel: 0,5 < VR < 2,0

Visuelle Überprüfungen

• Love-Plots (SMD vorher vs. nachher)
• Propensity-Score-Verteilungen nach Gruppe
• Kovariatenverteilungen innerhalb der Strata

Beispielanalyse

Forschungsfrage: Effekt von Berufsausbildung auf das Einkommen

Daten:

• 185 Behandelte (erhielten Ausbildung)
• 429 Kontrollen (keine Ausbildung)
• Kovariaten: Alter, Bildung, früheres Einkommen, Ethnie, verheiratet

Schritt 1: Propensity Scores schätzen

Logistische Regression:
- Behandlung ~ Alter + Bildung + Einkommen_1974 + Ethnie + verheiratet
- Vorhergesagte Wahrscheinlichkeiten = Propensity Scores

Schritt 2: Überlappung prüfen

• Behandelte: Mittelwert e(X) = 0,42, Bereich [0,05; 0,89]
• Kontrollen: Mittelwert e(X) = 0,31, Bereich [0,02; 0,78]
• Gute Überlappung in der Mitte, einige Extremwerte

Schritt 3: Matchen oder gewichten

• 1:1 Nearest-Neighbor-Matching mit Caliper = 0,05
• 150 gematchte Paare (35 Behandelte ausgeschlossen - kein guter Match)

Schritt 4: Balance prüfen

• Vor Matching: Alter SMD = 0,35, Bildung SMD = 0,28
• Nach Matching: Alter SMD = 0,04, Bildung SMD = 0,03

Schritt 5: Effekt schätzen

• ATT = 1.794 $(95$; 3.101 $)
• Interpretation: Ausbildung erhöhte das Einkommen um ca. 1.800 $

Behandlungseffekt-Schätzer

Verschiedene Methoden schätzen unterschiedliche Größen. Seien Sie klar über Ihr Ziel.

Häufige Probleme

Mangelnde Überlappung

Wenn sich die Propensity-Verteilungen nicht überlappen, ist der Vergleich eine Extrapolation.

Lösungen:

• Extreme Propensity Scores trimmen (z.B. e < 0,1 oder e > 0,9 ausschließen)
• Effekte nur für den Überlappungsbereich berichten
• Anderen Schätzer in Betracht ziehen

Extreme Gewichte

Bei IPW führen kleine Propensity Scores zu riesigen Gewichten und instabilen Schätzungen.

Lösungen:

• Gewichte trimmen oder stabilisieren
• Stabilisierte Gewichte: mit marginaler Behandlungswahrscheinlichkeit multiplizieren
• Maximales Gewicht festlegen (z.B. 10× Mittelwert)

Modellfehlspezifikation

Wenn das Propensity-Modell falsch ist, bleibt Bias bestehen.

Lösungen:

• Interaktionen und Polynome einschließen
• Doppelt robuste Methoden verwenden
• Mehrere Spezifikationen ausprobieren

Sensitivitätsanalyse

Propensity Scores kontrollieren nur für beobachtete Confounder. Unbeobachtetes Confounding kann Ergebnisse verzerren.

Sensitivitätsanalyse fragt: Wie stark müsste ungemessenes Confounding sein, um den Effekt zu erklären?

Gängige Ansätze:

• Rosenbaum-Grenzen
• E-Werte
• Sensitivitätsfunktionen

Propensity Score vs. Alternativen

Berichtsrichtlinien

Einzuschließen:

• Wie Propensity Scores geschätzt wurden (Modell, Variablen)
• Überlappungsbewertung
• Balance-Statistiken (vorher/nachher)
• Anzahl der verwendeten Beobachtungen
• Welcher Schätzer (ATE, ATT)
• Sensitivitätsanalyse für ungemessenes Confounding

Beispiel: „Propensity Scores wurden mittels logistischer Regression geschätzt, einschließlich Alter, Geschlecht, Baseline-Schweregrad und Komorbiditäten. Nach 1:1 Nearest-Neighbor-Matching (Caliper = 0,2 SD) waren alle standardisierten Mittelwertdifferenzen < 0,1. Der ATT betrug 5,2 Punkte (95% KI: 2,1; 8,3). Die Sensitivitätsanalyse zeigte, dass ein ungemessener Confounder ein OR > 2,5 sowohl mit Behandlung als auch Ergebnis benötigen würde, um den Effekt aufzuheben."

Historischer Kontext

Paul Rosenbaum und Donald Rubin führten Propensity Scores 1983 ein, aufbauend auf Rubins Framework für kausale Inferenz. Die Methode transformierte die Beobachtungsforschung, indem sie einen praktischen Weg zur Behandlung von Confounding bot. Erweiterungen wie doppelt robuste Schätzung und Machine-Learning-basierte Scores entwickeln das Feld weiter.

Verwandte Berechnungen

• Logistische Regression Rechner — Propensity Scores schätzen
• Odds Ratio Rechner — Effektmaße
• Relatives Risiko Rechner — Risikovergleich
• Konfidenzintervall Rechner — Inferenz

Zusammenfassung

Propensity Scores schätzen die Wahrscheinlichkeit einer Behandlung gegeben die Kovariaten und ermöglichen kausale Inferenz in Beobachtungsstudien. Verwenden Sie Matching, Stratifizierung oder Gewichtung, um Gruppen auszubalancieren. Überprüfen Sie die Balance mit standardisierten Differenzen; Ziel ist |SMD| < 0,1. Beachten Sie die Einschränkungen: Propensity Scores kontrollieren nur für beobachtete Confounder. Führen Sie immer eine Sensitivitätsanalyse für ungemessenes Confounding durch. Berichten Sie Ihre Methoden, Balance-Überprüfungen und den spezifischen Schätzer (ATE vs ATT).