Calculadora de desviación estándar combinada

¿Qué es la desviación estándar combinada?

La desviación estándar combinada combina la variabilidad de dos muestras en una sola estimación de la desviación estándar poblacional común. Se usa cuando asumimos que ambas poblaciones tienen la misma varianza pero diferentes medias.

La fórmula:

$S_p = \sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}$

Esto es un promedio ponderado de las dos varianzas muestrales, con muestras más grandes contribuyendo más a la estimación.

Cuándo usar la DE combinada

La desviación estándar combinada se requiere para:

1. Pruebas t de dos muestras (método de varianza combinada)
2. Intervalos de confianza para la diferencia en medias
3. Cálculo del tamaño del efecto d de Cohen
4. Análisis de varianza (ANOVA)

El supuesto clave: ambas poblaciones tienen varianza igual (homocedasticidad).

La lógica detrás de combinar

Si dos poblaciones tienen la misma variabilidad (σ₁ = σ₂ = σ), ¿por qué estimar σ dos veces? Combinar junta información de ambas muestras para una estimación más precisa.

Piénsalo como promediar dos estimaciones, donde el peso de cada estimación depende de su tamaño de muestra menos uno (los grados de libertad).

Ejemplo:

Grupo 1: n₁ = 30, s₁ = 10 Grupo 2: n₂ = 20, s₂ = 12

Sp² = [(29)(100) + (19)(144)] / (30 + 20 - 2) Sp² = [2900 + 2736] / 48 Sp² = 117,4 Sp = 10,83

La DE combinada (10,83) está entre las dos DE muestrales (10 y 12), más cerca del valor de la muestra más grande.

El supuesto de varianza igual

Combinar requiere asumir σ₁ = σ₂. ¿Cuándo es esto razonable?

Generalmente seguro:

• DEs muestrales dentro de razón 2:1 (ej., s₁ = 10, s₂ = 15)
• Tamaños de muestra similares
• Razón teórica para esperar varianza igual

Cuestionable:

• Razón de DE excede 2:1
• Tamaños de muestra muy diferentes Y DEs diferentes
• Poblaciones inherentemente diferentes

Cuando la varianza igual es dudosa, usa la prueba t de Welch en su lugar, que no requiere combinar.

Aplicaciones

Prueba t de dos muestras

El estadístico de prueba t combinada:

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{S_p \times \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

El denominador es el error estándar de la diferencia en medias, calculado usando la DE combinada.

Tamaño del efecto d de Cohen

d de Cohen estandariza la diferencia de medias:

$d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{S_p}$

Esto permite comparación entre estudios con diferentes escalas.

Intervalos de confianza

El IC para diferencia en medias usa:

$IC = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t^* \times S_p \times \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$

Análisis de potencia

La planificación del tamaño de muestra para comparar medias frecuentemente usa la DE combinada de datos piloto o estudios similares.

La fórmula explicada

$S_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$

Numerador: Suma de desviaciones al cuadrado de cada grupo

• (n₁-1)s₁² = Suma de desviaciones al cuadrado en el grupo 1
• (n₂-1)s₂² = Suma de desviaciones al cuadrado en el grupo 2
• Sumarlas combina todas las desviaciones al cuadrado

Denominador: Grados de libertad totales

• Cada muestra pierde 1 gl por estimar su media
• Total: (n₁-1) + (n₂-1) = n₁ + n₂ - 2

Resultado: Desviación cuadrada promedio (varianza), luego raíz cuadrada para DE

Casos especiales

Tamaños de muestra iguales

Cuando $n_1 = n_2 = n$:

$S_p = \sqrt{\frac{s_1^2 + s_2^2}{2}}$

Promedio simple de las varianzas (luego raíz cuadrada).

Una muestra mucho más grande

Cuando n₁ >> n₂:

Sp ≈ s₁

La muestra más grande domina la estimación.

DEs muestrales idénticas

Cuando s₁ = s₂ = s:

Sp = s

Combinar no cambia la estimación.

Contexto histórico

El enfoque de varianza combinada fue desarrollado como parte del marco de prueba t de dos muestras a principios del siglo XX.

Ronald Fisher formalizó el análisis de varianza (ANOVA), que generaliza la varianza combinada a múltiples grupos. Su trabajo estableció el supuesto de varianza igual y métodos para probarlo.

George Snedecor y William Cochran popularizaron los métodos en su influyente libro de texto "Statistical Methods" (1937), que entrenó generaciones de investigadores.

B.L. Welch (1947) desarrolló el enfoque alternativo para varianzas desiguales, reconociendo que el método combinado podía ser engañoso cuando el supuesto era violado.

Probando el supuesto de varianza igual

Prueba de Levene: Prueba si las varianzas son significativamente diferentes. Sensible a no normalidad.

Prueba F para igualdad de varianzas: Razón de varianza mayor a menor. Asume normalidad.

Regla general: Si la razón de DE mayor a menor es menos de 2, combinar es usualmente aceptable.

Consejo moderno: Muchos estadísticos recomiendan usar siempre el método de Welch (que no asume varianzas iguales), ya que funciona casi tan bien como el método combinado cuando las varianzas son iguales y mucho mejor cuando no lo son.

Extendiendo a múltiples grupos

Para k grupos (contexto de ANOVA):

$S_p^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)s_i^2}{\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)}$

Esto extiende la varianza combinada para combinar múltiples muestras, usada en el denominador del estadístico F.

Cálculos relacionados

• Calculadora de desviación estándar — DE de muestra individual
• Calculadora de varianza — DE al cuadrado
• Calculadora de d de Cohen — Usa DE combinada
• IC para diferencia en medias — Usa DE combinada
• Calculadora de error estándar — Concepto relacionado

Resumen

La desviación estándar combinada combina dos desviaciones estándar muestrales en una sola estimación de variabilidad poblacional común. Es un promedio ponderado donde la contribución de cada muestra depende de su tamaño. Requerida para la prueba t de dos muestras combinada, la d de Cohen y análisis relacionados, la DE combinada asume varianzas poblacionales iguales. Cuando este supuesto es cuestionable, la prueba t de Welch proporciona una alternativa robusta que no requiere combinar. La DE combinada es mayor que ambas DEs muestrales solo si son iguales; de lo contrario, cae entre ellas, más cerca del valor de la muestra más grande.