Calculadora de prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado
Prueba si los datos coinciden con la distribución esperada.
Ingrese al menos 2 valores observados
Ingrese frecuencias observadas para probar bondad de ajuste
¿Qué es la Prueba de Chi-Cuadrado Bondad de Ajuste?
La prueba de chi-cuadrado bondad de ajuste determina si las frecuencias observadas coinciden con las frecuencias esperadas para una sola variable categórica.
Pregunta que responde: "¿La distribución observada coincide con la distribución esperada?"
Ejemplos:
- "¿Es justo este dado?" (se esperan frecuencias iguales para 1-6)
- "¿Nuestra base de clientes coincide con la demografía de la población general?"
- "¿Las respuestas de la encuesta siguen las proporciones esperadas?"
Bondad de Ajuste vs. Independencia
Bondad de ajuste: Una variable, probando contra proporciones esperadas especificadas.
Independencia: Dos variables, probando si están relacionadas.
Ambas usan chi-cuadrado, pero responden preguntas diferentes.
Las Hipótesis
H₀: Las frecuencias observadas coinciden con las proporciones esperadas.
H₁: Las frecuencias observadas no coinciden con las proporciones esperadas.
Esta es siempre una prueba bilateral: cualquier desviación de lo esperado cuenta contra H₀.
Calculando la Prueba
Paso 1: Establecer las Proporciones Esperadas
Para un dado justo: 1/6 para cada cara (igual).
Para coincidir con la población: proporciones del censo o datos de referencia.
Paso 2: Calcular las Frecuencias Esperadas
E = n × proporción esperada
Para 120 lanzamientos de dado esperando distribución uniforme: E = 120 × (1/6) = 20 para cada cara.
Paso 3: Calcular Chi-Cuadrado
χ² = Σ[(O - E)² / E]
| Cara | Observado | Esperado | (O-E)² | (O-E)²/E |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 25 | 20 | 25 | 1.25 |
| 2 | 17 | 20 | 9 | 0.45 |
| 3 | 15 | 20 | 25 | 1.25 |
| 4 | 22 | 20 | 4 | 0.20 |
| 5 | 18 | 20 | 4 | 0.20 |
| 6 | 23 | 20 | 9 | 0.45 |
| Total | 120 | 120 | 3.80 |
Paso 4: Encontrar los Grados de Libertad
gl = k - 1
Donde k = número de categorías.
Para el dado: gl = 6 - 1 = 5
Si se estimaron parámetros a partir de los datos, restar grados de libertad adicionales.
Paso 5: Calcular el Valor P
Comparar χ² = 3.80 con la distribución chi-cuadrado con gl = 5.
p = 0.58
Conclusión: No hay evidencia de que el dado sea injusto (p > 0.05). Las frecuencias observadas son consistentes con la hipótesis del dado justo.
Aplicaciones
Probar Aleatoriedad
¿Los resultados están uniformemente distribuidos?
- Números de lotería
- Generadores de números aleatorios
- Barajas mezcladas
Probar Distribuciones Teóricas
¿La genética sigue las proporciones mendelianas?
- Proporciones esperadas 3:1 o 9:3:3:1
- Comparar observado con teórico
Comparar con Población Conocida
¿La muestra coincide con las proporciones de la población?
- Demografía (edad, género, raza)
- Segmentos de mercado
- Distribuciones geográficas
Distribuciones de Respuestas de Encuestas
¿Las respuestas siguen patrones esperados?
- Distribuciones de escala Likert
- Distribuciones de opción múltiple
Control de Calidad
¿Los tipos de defectos ocurren en las proporciones esperadas? ¿Los productos caen en los grados de calidad esperados?
Especificando Proporciones Esperadas
Distribución Igual (Uniforme)
Todas las categorías igualmente probables.
Dado: 1/6 cada una Días de la semana: 1/7 cada uno
Proporciones Teóricas
Basadas en teoría o conocimiento previo.
Genética mendeliana: proporción 3:1 → 0.75 y 0.25
Proporciones Históricas/Poblacionales
Basadas en datos previos o población de referencia.
Demografía nacional aplicada a muestra local.
Estimadas a partir de los Datos
Parámetros estimados de la muestra, luego probados.
Advertencia: Estimar parámetros consume grados de libertad.
Cuando los Parámetros Son Estimados
Si estimas k parámetros a partir de los datos:
gl = categorías - 1 - k
Ejemplo: Ajustar distribución de Poisson
- Estimar λ de la media muestral (1 parámetro)
- gl = categorías - 1 - 1 = categorías - 2
Esto penaliza por "mirar" los datos para establecer expectativas.
Supuestos
Independencia
Las observaciones son independientes: un resultado no afecta a otro.
Frecuencias Esperadas
Regla tradicional: Todos los E ≥ 5
Guía moderna:
- Ningún E < 1
- No más del 20% de categorías con E < 5
Si se viola: Combinar categorías o usar prueba exacta.
Muestreo Aleatorio
Los datos representan una muestra aleatoria de la población de interés.
Interpretando Resultados
Resultado Significativo (p < α)
La distribución observada difiere de la esperada. El modelo no ajusta.
Examinar (O-E)/E para cada categoría para ver cuáles desvían más.
Resultado No Significativo (p ≥ α)
Los datos son consistentes con la distribución esperada. No se puede concluir que el modelo sea incorrecto.
Precaución: No prueba que el modelo sea correcto, solo que los datos no lo contradicen.
Tamaño del Efecto
El valor de chi-cuadrado solo no indica el tamaño del efecto (depende de n).
Opciones para el tamaño del efecto:
Raíz Cuadrada Media de los Residuos: √[Σ(O-E)²/E / n]
V de Cramér (para comparación con línea base): V = √[χ² / (n(k-1))]
Errores Comunes
Confundir con Prueba de Independencia
La bondad de ajuste prueba una variable contra expectativas. La independencia prueba la relación entre dos variables.
No Especificar Expectativas por Adelantado
Las expectativas deben establecerse antes de ver los datos. Las expectativas post-hoc inflan el error de Tipo I.
Ignorar la Combinación de Categorías
Cuando las frecuencias esperadas son muy bajas, combinar categorías lógicamente.
Probar Parámetros Estimados sin Ajuste de gl
Si estimaste parámetros de los datos, reducir gl correspondientemente.
Combinando Categorías
Cuando algunas frecuencias esperadas son muy pequeñas:
Antes:
| Categoría | O | E |
|---|---|---|
| A | 45 | 40 |
| B | 38 | 40 |
| C | 12 | 15 |
| D | 3 | 3 |
| E | 2 | 2 |
Las categorías D y E tienen E < 5.
Después de combinar D y E:
| Categoría | O | E |
|---|---|---|
| A | 45 | 40 |
| B | 38 | 40 |
| C | 12 | 15 |
| D+E | 5 | 5 |
Ahora todos los E ≥ 5.
Ejemplo: Probando Proporciones Mendelianas
Experimento: Cruzar plantas de guisantes, se espera proporción 3:1 de amarillo a verde.
Datos: 315 amarillos, 108 verdes (total 423)
Esperado:
- Amarillo: 423 × 0.75 = 317.25
- Verde: 423 × 0.25 = 105.75
Chi-cuadrado: χ² = (315-317.25)²/317.25 + (108-105.75)²/105.75 χ² = 0.016 + 0.048 = 0.064
Valor P: Para gl = 1, p = 0.80
Conclusión: Los datos son consistentes con la proporción mendeliana 3:1.
Relación con Otras Pruebas
Prueba Binomial
Para dos categorías, la prueba binomial es más precisa para muestras pequeñas.
Chi-cuadrado aproxima la binomial para n grande.
Kolmogorov-Smirnov
Prueba el ajuste a distribuciones continuas.
Chi-cuadrado requiere datos categóricos/agrupados.
Razón de Verosimilitud (Prueba G)
Alternativa a chi-cuadrado con propiedades similares.
G = 2Σ[O × ln(O/E)]
Algunos la prefieren por razones teóricas.
Reportando Resultados
Formato APA:
"Una prueba de chi-cuadrado bondad de ajuste indicó que la distribución observada de resultados del dado no difirió significativamente de la distribución uniforme, χ²(5) = 3.80, p = .58."
Para resultados significativos:
"Una prueba de chi-cuadrado bondad de ajuste reveló que la distribución de edad de los clientes difirió significativamente de la demografía nacional, χ²(4) = 23.5, p < .001. Los clientes de 25-34 años estaban sobrerrepresentados (observado 35%, esperado 22%)."
Contexto Histórico
Karl Pearson introdujo la prueba de chi-cuadrado bondad de ajuste en 1900.
Su aplicación original fue probar si los datos observados se ajustaban a distribuciones de probabilidad teóricas, de ahí "bondad de ajuste".
La prueba se volvió fundamental en genética para probar la herencia mendeliana, en física para probar predicciones teóricas, y en todas las ciencias para probar cualquier distribución categórica.
Cálculos Relacionados
- Prueba de Independencia Chi-Cuadrado — Dos variables
- Prueba Binomial — Dos categorías exactas
- Distribución Chi-Cuadrado — Valores P
- Calculadora de Probabilidad Normal — Distribuciones continuas
Resumen
La prueba de chi-cuadrado bondad de ajuste compara las frecuencias observadas de categorías con las frecuencias esperadas especificadas por un modelo teórico o conocimiento previo. Calcular las frecuencias esperadas como n × proporción, computar χ² = Σ(O-E)²/E, y comparar con la distribución chi-cuadrado con gl = k-1 (menos cualquier parámetro estimado). Los supuestos requieren frecuencias esperadas adecuadas en todas las categorías. Un resultado significativo indica que los datos no se ajustan a la distribución esperada; examinar los residuos para identificar qué categorías desvían. Siempre especificar las proporciones esperadas antes de analizar los datos.