Calculadora de distribución t

¿Qué es la distribución t?

La distribución t (t de Student) es una distribución de probabilidad usada para inferencia estadística cuando los tamaños de muestra son pequeños y la desviación estándar poblacional es desconocida. Se asemeja a la distribución normal pero tiene colas más pesadas—teniendo en cuenta la incertidumbre adicional de estimar la DE poblacional.

Parámetro clave: Grados de libertad (gl), típicamente n - 1 para una muestra individual.

A medida que los gl aumentan, la distribución t se aproxima a la normal estándar. Para gl > 30, las diferencias son pequeñas.

De estadístico t a valor p

Esta calculadora convierte un estadístico t a un valor p, dados los grados de libertad.

Ejemplo: t = 2,45, gl = 20

Valor p bilateral: P(|T| > 2,45) = 0,024 Valor p unilateral: P(T > 2,45) = 0,012

Unilateral vs. bilateral

Prueba bilateral

Prueba cualquier diferencia (positiva o negativa):

• H₀: μ = μ₀ vs. H₁: μ ≠ μ₀
• Valor p = 2 × P(T > |t|)

Más común en la práctica.

Prueba unilateral

Prueba en una dirección específica:

• Cola derecha: H₀: μ ≤ μ₀ vs. H₁: μ > μ₀
• Cola izquierda: H₀: μ ≥ μ₀ vs. H₁: μ < μ₀
• Valor p = P(T > t) o P(T < t)

Usar solo con fuerte justificación previa.

Aplicaciones

Prueba t de una muestra

"¿La media muestral es significativamente diferente de un valor hipotético?"

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}, \quad gl = n - 1$

Prueba t de dos muestras

"¿Dos grupos tienen medias diferentes?"

Combinada: $gl = n_1 + n_2 - 2$ Welch: gl calculados por fórmula (frecuentemente no entero)

Prueba t pareada

"¿Hay diferencia entre mediciones pareadas?"

$t = \frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}, \quad gl = n - 1$ (n = número de pares)

Coeficientes de regresión

"¿Un coeficiente de regresión es significativamente diferente de cero?"

$t = \frac{\hat{\beta}}{EE(\hat{\beta})}, \quad gl = n - k - 1$

Intervalos de confianza

Los intervalos de confianza para medias usan valores críticos de la distribución t cuando la DE poblacional es desconocida.

Distribución t vs. normal

Diferencias clave:

• La distribución t tiene colas más pesadas → valores críticos más grandes → ICs más anchos
• gl = 5: t* = 2,57 vs. z* = 1,96 (para 95%)
• gl = 30: t* = 2,04 vs. z* = 1,96

Valores críticos de t

Para confianza bilateral del 95%:

La Calculadora de valor crítico (t*) proporciona valores para cualquier gl y nivel de confianza.

Desarrollo histórico

William Sealy Gosset (1876-1937) desarrolló la distribución t en 1908 mientras trabajaba en la Cervecería Guinness en Dublín. Encargado de analizar pequeños lotes de cebada, necesitaba un método para muestras pequeñas.

Publicando bajo "Student" (Guinness prohibía a los empleados publicar), su artículo "The Probable Error of a Mean" introdujo lo que ahora llamamos distribución t de Student.

Ronald Fisher posteriormente generalizó el trabajo de Gosset, introduciendo grados de libertad e integrando la distribución t en su marco más amplio.

Antes del trabajo de Gosset, la inferencia válida requería muestras grandes o varianza poblacional conocida—ambas raras en la práctica. Su contribución permitió análisis riguroso de muestras pequeñas.

Grados de libertad explicados

Los grados de libertad representan piezas "libres" de información después de restricciones.

Para una muestra de n:

• Estimas la media (1 restricción)
• n - 1 valores son libres de variar
• gl = n - 1

Para comparar dos muestras:

• Dos medias estimadas
• gl = n₁ + n₂ - 2 (combinada)

Mayor gl → más información → distribución t más cercana a la normal.

Calculando estadísticos t

Una muestra

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

Donde:

• $\bar{x}$ = media muestral
• $\mu_0$ = media poblacional hipotética
• $s$ = desviación estándar muestral
• $n$ = tamaño de muestra

Dos muestras (combinada)

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{S_p \times \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

Donde $S_p$ es la desviación estándar combinada.

Dos muestras (Welch)

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$

Con fórmula compleja de gl.

Relación con otras distribuciones

Normal: T se aproxima a la normal cuando gl → ∞

Distribución F: T² con gl sigue F(1, gl)

Chi-cuadrado: T = Z/√(χ²/gl), conectando normal y chi-cuadrado

Distribución t no central

Cuando la media verdadera ≠ media hipotética, el estadístico t sigue una distribución t no central. Esto se usa en:

• Análisis de potencia
• Intervalos de confianza para tamaños del efecto
• Cálculos de tamaño de muestra

Cálculos relacionados

• Calculadora de valor crítico (t*) — Encontrar t* para cualquier gl
• Intervalo de confianza para la media — Usa distribución t
• IC para diferencia en medias — t de dos muestras
• Calculadora de valor p desde puntuación z — Alternativa de muestra grande
• Calculadora de grados de libertad — Calcular gl

Resumen

La distribución t es esencial para inferencia con muestras pequeñas y desviación estándar poblacional desconocida. Sus colas más pesadas producen intervalos de confianza más anchos y valores p más conservadores que la distribución normal, reflejando apropiadamente la incertidumbre adicional. La distribución está parametrizada por grados de libertad—mayor gl significa menos incertidumbre y convergencia hacia la normal. Ya sea probando hipótesis, construyendo intervalos de confianza, o evaluando coeficientes de regresión, la distribución t proporciona la base para la mayoría de la inferencia estadística del mundo real.