Calculateur de distribution binomiale (CDF)

Calculez P(X ≤ k) pour des essais binomiaux.

Veuillez entrer un nombre d'essais valide (1-500)

Exemples

Entrez n et p pour générer la distribution

Qu'est-ce que la probabilité binomiale cumulative ?

Tandis que le Calculateur de probabilité binomiale trouve P(X = k) — la probabilité d'exactement k succès — les probabilités cumulatives répondent à des questions plus larges :

  • P(X ≤ k) : Au plus k succès
  • P(X < k) : Moins de k succès
  • P(X ≥ k) : Au moins k succès
  • P(X > k) : Plus de k succès

Ces probabilités cumulatives additionnent les probabilités binomiales individuelles.

Les formules

P(X ≤ k) = Σ P(X = i) pour i = 0 à k

P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) = Σ P(X = i) pour i = k à n

P(X < k) = P(X ≤ k-1)

P(X > k) = 1 - P(X ≤ k)

Exemples

Contrôle qualité

« Un processus a un taux de défaut de 5 %. Dans 50 articles, quelle est P(au plus 3 défectueux) ? »

n = 50, p = 0,05, trouver P(X ≤ 3)

P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,077 + 0,202 + 0,261 + 0,220 = 0,760

76 % de chance de 3 défectueux ou moins.

Essais cliniques

« Un médicament fonctionne 80 % du temps. Si 20 patients le prennent, quelle est P(au moins 15 répondent) ? »

n = 20, p = 0,80, trouver P(X ≥ 15)

P(X ≥ 15) = 1 - P(X ≤ 14) = 0,804

Environ 80 % de chance de 15+ réponses.

Analyse d'enquête

« 30 % soutiennent une politique. Dans 100 répondants, quelle est P(moins de 25 partisans) ? »

n = 100, p = 0,30, trouver P(X < 25) = P(X ≤ 24)

P(X ≤ 24) ≈ 0,142

Environ 14 % de chance.

Théorie des jeux

« La probabilité de gagner est de 40 %. Dans 10 jeux, quelle est P(plus de 6 victoires) ? »

n = 10, p = 0,40, trouver P(X > 6) = 1 - P(X ≤ 6)

P(X > 6) = 1 - 0,945 = 0,055

Environ 5,5 % de chance de gagner 7 ou plus.

Applications

Test d'hypothèse pour les proportions

Test unilatéral : « Le taux de succès est-il supérieur à 50 % ? »

Observer k succès dans n essais. Valeur p = P(X ≥ k) sous l'hypothèse nulle (p = 0,50)

C'est un test binomial exact.

Échantillonnage d'acceptation

« Accepter un lot si au plus 2 des 50 articles testés sont défectueux. »

P(accepter bon lot) = P(X ≤ 2 | p = 0,02) [risque du producteur] P(accepter mauvais lot) = P(X ≤ 2 | p = 0,10) [risque du consommateur]

Cartes de contrôle

« Le processus est hors de contrôle si > 3 des 20 points consécutifs sont au-delà de 2σ. »

Sous contrôle : P(point au-delà de 2σ) ≈ 0,05 P(fausse alarme) = P(X > 3 | n=20, p=0,05)

Analyses sportives

« Le pourcentage de lancers francs du joueur est de 75 %. Quelle est la chance de faire moins de 15 sur 25 ? »

P(X < 15 | n=25, p=0,75) aide à évaluer la probabilité de sous-performance.

Relation aux probabilités exactes

Les probabilités cumulatives se construisent à partir des probabilités exactes :

P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

Inversement, les probabilités exactes proviennent de différences cumulatives :

P(X = k) = P(X ≤ k) - P(X ≤ k-1)

Approximation normale

Pour n grand, le binomial approche la normale :

  • Moyenne μ = np
  • ET σ = √(np(1-p))

Avec correction de continuité :

P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 - np) / √(np(1-p)))

Le +0,5 ajuste pour la conversion discrète-continue.

Quand utiliser : np ≥ 5 ET n(1-p) ≥ 5

L'approximation est plus rapide pour n très grand où le calcul exact est lent.

Intervalles de confiance et taille d'échantillon

Les probabilités binomiales cumulatives sous-tendent :

  • Intervalles de confiance exacts de Clopper-Pearson pour les proportions
  • Calculs de taille d'échantillon pour l'estimation de proportions
  • Analyse de puissance pour les tests de proportions

Calcul des probabilités cumulatives

Sommation directe

Additionner les termes individuels P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k)

Fonctionne bien pour k petit.

Méthode du complément

Pour k grand : P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)

Calculer la somme la plus petite et soustraire de 1.

Calcul récursif

P(X = k+1) = P(X = k) × (n-k)/(k+1) × p/(1-p)

Commencer par P(X = 0) = (1-p)ⁿ et itérer.

Probabilités bilatérales

Pour les événements « extrêmes » dans l'une ou l'autre direction :

P(|X - np| ≥ c) = P(X ≤ np - c) + P(X ≥ np + c)

Utilisé dans les tests d'hypothèse bilatéraux.

Relation avec d'autres distributions

Approximation de Poisson : Quand n grand, p petit, np modéré : P(X = k) ≈ e^(-λ) × λ^k / k! où λ = np

Distribution bêta : Le binomial cumulatif est lié à la fonction bêta incomplète, utilisée pour calculer les intervalles de confiance exacts.

Calculs associés

Résumé

Les probabilités binomiales cumulatives répondent à des questions pratiques sur « au moins », « au plus », « moins de » ou « plus de » un nombre spécifié de succès. Du contrôle qualité des décisions d'acceptation aux tests d'hypothèse à l'évaluation des risques, ces probabilités étendent le cadre binomial de base aux questions du monde réel. Pour n grand, l'approximation normale avec correction de continuité fournit une alternative computationnellement efficace.

Outils connexes