Calculateur de distribution binomiale (PMF)

Qu'est-ce que la distribution binomiale ?

La distribution binomiale modélise le nombre de succès dans un nombre fixe d'essais indépendants, chacun avec la même probabilité de succès.

Paramètres :

• n = nombre d'essais
• p = probabilité de succès à chaque essai
• k = nombre de succès

La question : Quelle est P(X = k), la probabilité d'exactement k succès ?

La formule

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Où $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ est le coefficient binomial.

Exemple : Lancer une pièce équilibrée 10 fois. Quelle est P(exactement 6 faces) ?

$P(X = 6) = \binom{10}{6} \times 0,5^6 \times 0,5^4 = 210 \times 0,0156 \times 0,0625 = 0,205$

Environ 20,5 % de chance d'exactement 6 faces.

Quand la binomiale s'applique-t-elle ?

La distribution binomiale nécessite :

1. Nombre fixe d'essais (n)
2. Deux résultats par essai : Succès ou échec
3. Probabilité constante (p) : La même pour chaque essai
4. Indépendance : Les essais ne s'affectent pas

Exemples qui conviennent

• Lancers de pièce (n lancers, P(face) = 0,5)
• Articles défectueux dans un échantillon (avec remplacement ou grande population)
• Réponses d'enquête (questions oui/non)
• Essais médicaux (succès/échec du traitement)
• Contrôle qualité (tests réussi/échoué)

Exemples qui ne conviennent pas

• Tirage sans remplacement d'une petite population (utiliser hypergéométrique)
• Nombre d'événements dans un intervalle de temps (utiliser Poisson)
• Probabilités de succès variables (utiliser des modèles plus complexes)

Applications

Contrôle qualité

« Un processus a un taux de défaut de 5 %. Dans un échantillon de 20, quelle est la probabilité d'exactement 2 défectueux ? »

P(X = 2) = C(20,2) × 0,05² × 0,95¹⁸ = 190 × 0,0025 × 0,397 = 0,189

Environ 19 % de chance.

Tests médicaux

« Un médicament a 80 % d'efficacité. Si 15 patients le prennent, quelle est P(exactement 12 répondent) ? »

P(X = 12) = C(15,12) × 0,8¹² × 0,2³ = 455 × 0,0687 × 0,008 = 0,250

Sport

« Un joueur de basket réussit 70 % de ses lancers francs. En 8 tentatives, quelle est P(exactement 6 réussis) ? »

P(X = 6) = C(8,6) × 0,7⁶ × 0,3² = 28 × 0,118 × 0,09 = 0,296

Génétique

« Chaque enfant a 25 % de chance d'hériter d'un trait. Pour 4 enfants, quelle est P(exactement 1 l'a) ? »

P(X = 1) = C(4,1) × 0,25¹ × 0,75³ = 4 × 0,25 × 0,422 = 0,422

Le coefficient binomial

$\binom{n}{k}$ compte le nombre de façons de choisir k éléments parmi n :

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Exemples :

• C(5,2) = 10 (façons de choisir 2 parmi 5)
• C(10,3) = 120
• C(n,0) = C(n,n) = 1
• C(n,1) = n

C'est pourquoi on l'appelle « binomial » — ces coefficients apparaissent dans l'expansion binomiale de (a+b)ⁿ.

Forme de la distribution

La forme dépend de p :

• p = 0,5 : Symétrique
• p < 0,5 : Asymétrique à droite (queue vers k élevé)
• p > 0,5 : Asymétrique à gauche (queue vers k bas)

Lorsque n augmente, la binomiale approche la normale :

• Moyenne = $np$
• Variance = $np(1-p)$
• ET = $\sqrt{np(1-p)}$

Règle générale : L'approximation normale est raisonnable quand np ≥ 5 ET n(1-p) ≥ 5.

Valeur attendue et variance

Moyenne (nombre attendu de succès) :

$E(X) = np$

Variance :

$Var(X) = np(1-p)$

Écart type :

$ET(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Pour 100 lancers de pièce (n=100, p=0,5) :

• Moyenne = 50 faces
• ET = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5 faces

Développement historique

La distribution binomiale est l'une des plus anciennes distributions de probabilité.

Blaise Pascal et Pierre de Fermat (1654) ont résolu des problèmes de jeu qui ont conduit à la pensée binomiale.

Jacob Bernoulli (1713) a publié le premier traitement complet dans « Ars Conjectandi », incluant ce que nous appelons maintenant les essais de Bernoulli.

Abraham de Moivre (1733) a découvert l'approximation normale de la binomiale — un résultat clé menant au théorème central limite.

Probabilité cumulative

Pour $P(X \leq k)$ ou $P(X \geq k)$, utilisez le Calculateur cumulatif binomial :

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$

C'est souvent plus utile que les probabilités exactes :

• « Quelle est P(au plus 3 défectueux) ? »
• « Quelle est P(au moins 8 succès) ? »

Relation avec d'autres distributions

Bernoulli : Binomiale avec n = 1

Normale : La binomiale approche la normale pour n grand

Poisson : La binomiale approche Poisson quand n est grand et p est petit (np = λ)

Binomiale négative : Nombre d'essais jusqu'à k succès

Hypergéométrique : Binomiale sans remplacement d'une population finie

Calculs associés

• Calculateur cumulatif binomial — P(X ≤ k), P(X ≥ k)
• Calculateur de probabilité de Poisson — Pour les événements rares
• Calculateur de probabilité normale — Approximation continue
• Intervalle de confiance pour proportion — Estimer p

Résumé

La distribution binomiale donne la probabilité d'exactement k succès dans n essais indépendants, chacun avec une probabilité de succès p. Du contrôle qualité à la recherche médicale en passant par la génétique, les probabilités binomiales répondent à des questions fondamentales sur les comptes de succès. La formule combine le coefficient binomial (nombre de façons d'arranger k succès) avec la probabilité de tout arrangement spécifique. Pour les questions cumulatives (au moins k, au plus k), utilisez le calculateur cumulatif. Pour n grand, l'approximation normale fournit une alternative pratique.