Calculateur de distribution géométrique

Qu'est-ce que la distribution géométrique ?

La distribution géométrique modélise le nombre d'essais nécessaires pour obtenir le premier succès dans une séquence d'essais de Bernoulli indépendants, où chaque essai a la même probabilité de succès. Elle répond à des questions comme « Combien de fois dois-je lancer une pièce jusqu'à obtenir pile ? » ou « Combien de produits dois-je inspecter jusqu'à trouver un défaut ? »

La distribution géométrique est l'analogue discret de la distribution exponentielle et partage sa propriété sans mémoire.

Deux conventions

Il existe deux définitions courantes de la distribution géométrique :

Convention 1 : Nombre d'essais (k ≥ 1)

X = nombre d'essais jusqu'au premier succès (y compris l'essai réussi)

$P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p \quad \text{pour } k = 1, 2, 3, \ldots$

• Moyenne : $E[X] = \frac{1}{p}$
• Variance : $Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$

Convention 2 : Nombre d'échecs (k ≥ 0)

Y = nombre d'échecs avant le premier succès

$P(Y = k) = (1-p)^k \cdot p \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \ldots$

• Moyenne : $E[Y] = \frac{1-p}{p}$
• Variance : $Var(Y) = \frac{1-p}{p^2}$

Note : $Y = X - 1$, donc la relation entre les conventions est simple.

La propriété sans mémoire

Comme la distribution exponentielle, la distribution géométrique est sans mémoire :

$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$

Si vous avez déjà échoué $m$ fois, vos essais supplémentaires attendus jusqu'au succès sont les mêmes que si vous recommenciez. Les échecs passés n'influencent pas le succès futur.

Important : La distribution géométrique est la seule distribution discrète avec cette propriété.

Applications pratiques

Contrôle qualité

Combien d'articles doivent être inspectés pour trouver le premier défectueux ? Si le taux de défaut est de 2% ($p = 0.02$), en moyenne vous devriez inspecter $1/0.02 = 50$ articles.

Ventes et marketing

Combien d'appels jusqu'à la première vente ? Combien d'e-mails jusqu'à une réponse ? Les modèles géométriques aident à définir les attentes et à mesurer les performances.

Génétique

Combien de descendants jusqu'à ce qu'un hérite d'un trait particulier ? Si la probabilité d'hérédité est de 0,25, attendez-vous à environ 4 descendants en moyenne.

Jeux de hasard

Combien de billets de loterie jusqu'à un gain ? Combien de tours jusqu'à décrocher un jackpot ? (Bien que le jeu réel implique des probabilités plus complexes.)

Tests de fiabilité

Combien de tests de contrainte jusqu'à la défaillance du composant ? La distribution géométrique s'applique lorsque chaque test a une probabilité de défaillance indépendante.

Probabilités cumulatives

La CDF (probabilité de succès dans les $k$ essais) est :

$P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$

La fonction de survie (probabilité d'absence de succès dans les premiers $k$ essais) est :

$P(X > k) = (1-p)^k$

Exemple de calcul

Problème : Un joueur de basket réussit des lancers francs avec une précision de 75%. Quelle est la probabilité qu'il marque son premier panier exactement au troisième essai ?

En utilisant la convention 1 (essais jusqu'au succès) :

• $p = 0.75$ (probabilité de succès)
• $k = 3$ (premier succès au troisième essai)

$P(X = 3) = (1-0.75)^{3-1} \cdot 0.75 = (0.25)^2 \cdot 0.75 = 0.0469$

Environ 4,7% de chance de rater deux fois puis de réussir le troisième.

Connexion avec d'autres distributions

Binomiale négative

La distribution binomiale négative généralise la distribution géométrique pour compter les essais jusqu'à $r$ succès (géométrique est le cas spécial $r = 1$).

Distribution exponentielle

La distribution exponentielle est l'analogue en temps continu. Si les événements se produisent en temps continu à un taux $\lambda$, le temps d'attente est exponentiel. Si les événements se produisent en essais discrets avec probabilité $p$, les essais d'attente sont géométriques.

Distribution binomiale

La distribution binomiale compte les succès dans un nombre fixe d'essais, tandis que géométrique compte les essais jusqu'au premier succès.

Quand la géométrique ne s'applique pas

• Probabilité non constante : Si $p$ change au fil des essais
• Essais dépendants : Si les résultats s'influencent mutuellement
• Types de succès multiples : Lorsque le succès n'est pas binaire

Quantiles et percentiles

Le $q$-ième quantile (minimum $k$ tel que $P(X \leq k) \geq q$) est :

$k = \left\lceil \frac{\ln(1-q)}{\ln(1-p)} \right\rceil$

Cela vous indique combien d'essais pour garantir une probabilité donnée de succès.

Calculs associés

• Calculateur de probabilité binomiale — Essais fixes, compte des succès
• Calculateur binomial négatif — Essais jusqu'à $r$ succès
• Calculateur de distribution exponentielle — Analogue continu
• Calculateur de probabilité de Poisson — Événements en temps fixe

Résumé

La distribution géométrique est le modèle de référence pour compter les essais indépendants jusqu'au premier succès. Sa propriété sans mémoire signifie que les échecs passés n'affectent pas la probabilité de succès futur — chaque essai est un nouveau départ. Que vous analysiez le contrôle qualité, les processus de vente ou les jeux de hasard, la distribution géométrique fournit des formules simples pour les temps d'attente attendus et les probabilités de succès.