Calculateur de moyenne géométrique

Qu'est-ce que la moyenne géométrique ?

La moyenne géométrique est la racine n-ième du produit de n valeurs :

$MG = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n} = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n}$

De manière équivalente, en utilisant les logarithmes :

$MG = \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \ln(x_i)\right)$

Propriété clé : La moyenne géométrique des facteurs de croissance égale le facteur de croissance constant qui produit le même résultat final.

Quand utiliser la moyenne géométrique

Taux de croissance et rendements

Rendements d'investissement sur plusieurs périodes :

Moyenne arithmétique : (20 - 10 + 15) / 3 = 8.33%

Moyenne géométrique : $\sqrt[3]{1.20 \times 0.90 \times 1.15} = 1.073$ → 7.3% par an

La moyenne géométrique montre correctement que 100$devient 100$ × 1.073³ = 123.66$.

Ratios et proportions

Lors de la moyenne des ratios, la moyenne géométrique assure la cohérence.

Si A est deux fois B, et B est deux fois C, alors A est 4× C. Moyenne géométrique des ratios : $\sqrt{2 \times 2} = 2$ ✓ Moyenne arithmétique donnerait : (2 + 2) / 2 = 2 ✓ (fonctionne ici)

Mais avec différents ratios (3× et 1/3×), la moyenne arithmétique échoue tandis que la moyenne géométrique donne correctement 1.

Données couvrant des ordres de grandeur

Pour des données comme les populations, concentrations ou prix variant largement :

Valeurs : 10, 100, 1000

Moyenne arithmétique : 370 Moyenne géométrique : $\sqrt[3]{10 \times 100 \times 1000} = 100$

La moyenne géométrique représente mieux la valeur « typique ».

Exemple de calcul

Données : 2, 8, 4, 16

Méthode 1 : Calcul direct

$MG = \sqrt[4]{2 \times 8 \times 4 \times 16} = \sqrt[4]{1024} = 5.66$

Méthode 2 : Utilisation des logarithmes

$MG = \exp\left(\frac{\ln 2 + \ln 8 + \ln 4 + \ln 16}{4}\right) = \exp\left(\frac{0.69 + 2.08 + 1.39 + 2.77}{4}\right) = \exp(1.73) = 5.66$

Propriétés

Relation avec les moyennes arithmétique et harmonique

Pour les nombres positifs :

$\text{Moyenne harmonique} \leq \text{Moyenne géométrique} \leq \text{Moyenne arithmétique}$

L'égalité n'est atteinte que lorsque toutes les valeurs sont identiques.

Propriété multiplicative

$MG(a \times b) = MG(a) \times MG(b)$

Cela rend la moyenne géométrique naturelle pour les processus multiplicatifs.

Transformation logarithmique

La moyenne géométrique égale la moyenne arithmétique exponentielle des données transformées en log :

$MG(x) = \exp(MA(\ln x))$

C'est pourquoi elle est utilisée lorsque les distributions log-normales sont appropriées.

Applications

Finance

Taux de croissance annuel composé (TCAC) :

$TCAC = \left(\frac{\text{Valeur finale}}{\text{Valeur initiale}}\right)^{1/n} - 1$

C'est la moyenne géométrique des facteurs de croissance moins 1.

Biologie

• Taux de croissance bactérienne
• Dynamique des populations
• Titres d'anticorps (souvent rapportés comme titres moyens géométriques, TMG)

Sciences environnementales

• Concentrations de polluants
• Indices de qualité de l'eau
• Abondance d'espèces

Traitement d'images

• Filtres à moyenne géométrique pour la réduction du bruit
• Moyennage de couleurs (moyenne géométrique des valeurs RVB)

Moyenne géométrique pondérée

Lorsque les valeurs ont des poids différents :

$MG_p = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i^{w_i}\right)^{1/\sum w_i}$

Ou de manière équivalente :

$MG_p = \exp\left(\frac{\sum w_i \ln x_i}{\sum w_i}\right)$

Exemple : Portefeuille avec 60% dans l'investissement A (rendement 1.10) et 40% dans l'investissement B (rendement 1.05) :

$MG_p = (1.10^{0.6} \times 1.05^{0.4}) = 1.079$

Limitations

Nécessite des valeurs positives

La moyenne géométrique n'est pas définie pour les valeurs nulles ou négatives.

Solutions de contournement :

• Ajouter une constante pour déplacer les données vers le positif
• Utiliser uniquement pour des données naturellement positives
• Envisager la moyenne arithmétique à la place

Sensible aux petites valeurs

Les petites valeurs ont une influence disproportionnée :

Valeurs : 1, 100, 100, 100

Moyenne arithmétique : 75.25 Moyenne géométrique : $\sqrt[4]{1 \times 100^3} = 31.62$

La seule petite valeur tire la moyenne géométrique significativement vers le bas.

Comparaison avec la moyenne arithmétique

Écart-type géométrique

La dispersion autour de la moyenne géométrique :

$ETG = \exp\left(\sqrt{\frac{\sum(\ln x_i - \ln MG)^2}{n-1}}\right)$

Utilisé pour décrire la variabilité dans les données log-normales. Un ETG de 2 signifie que les valeurs vont typiquement de MG/2 à MG×2.

Contexte historique

La moyenne géométrique a des origines anciennes — elle apparaît dans les Éléments d'Euclide (300 avant J.-C.) dans le contexte des proportions et des triangles semblables.

Le terme « géométrique » vient de sa relation avec les constructions géométriques : la moyenne géométrique de deux longueurs a et b égale le côté d'un carré ayant la même aire qu'un rectangle de côtés a et b.

Calculs associés

• Calculateur de moyenne — Moyenne arithmétique
• Calculateur de moyenne harmonique — Moyenne pour les taux
• Calculateur de moyenne pondérée — Moyenne arithmétique pondérée
• Calculateur d'écart-type — Mesure de dispersion

Résumé

La moyenne géométrique est la moyenne appropriée pour les données multiplicatives : taux de croissance, ratios et valeurs couvrant plusieurs ordres de grandeur. Calculez-la comme la racine n-ième du produit des valeurs, ou de manière équivalente, exponentiez la moyenne arithmétique des valeurs transformées en log. La moyenne géométrique se situe toujours entre les moyennes harmonique et arithmétique. Utilisez-la pour les rendements d'investissement, la croissance de la population et toutes les données où les changements relatifs importent plus que les changements absolus.