Calculateur de moyenne harmonique

Qu'est-ce que la moyenne harmonique ?

La moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses :

$MH = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}$

Propriété clé : La moyenne harmonique est appropriée pour moyenner des taux, vitesses ou ratios où le dénominateur varie.

Quand utiliser la moyenne harmonique

Moyenner des vitesses

Scénario : Conduire 60 km à 30 km/h, puis 60 km à 60 km/h. Quelle est la vitesse moyenne ?

Faux (moyenne arithmétique) : (30 + 60) / 2 = 45 km/h

Correct (moyenne harmonique) : $MH = \frac{2}{\frac{1}{30} + \frac{1}{60}} = \frac{2}{\frac{1}{20}} = 40 \text{ km/h}$

Vérification :

• Temps pour le premier trajet : 60/30 = 2 heures
• Temps pour le second trajet : 60/60 = 1 heure
• Total : 120 km en 3 heures = 40 km/h ✓

Ratios prix/bénéfice

Lors du moyennage des ratios P/E à travers les actions, la moyenne harmonique pondère implicitement par capitalisation boursière.

Moyenne arithmétique P/E : 15 Moyenne harmonique P/E : $\frac{2}{\frac{1}{10} + \frac{1}{20}} = 13.33$

La moyenne harmonique reflète correctement le P/E combiné d'un portefeuille.

Taux et densités

Lorsque le numérateur est fixe et les dénominateurs varient :

• Taux de traitement des machines (articles par heure)
• Efficacité énergétique (miles par gallon pour distances égales)
• Densités de population (pour zones égales)

Exemple de calcul

Données : 40, 60, 80

$MH = \frac{3}{\frac{1}{40} + \frac{1}{60} + \frac{1}{80}}$

$= \frac{3}{0.025 + 0.0167 + 0.0125}$

$= \frac{3}{0.0542} = 55.4$

Comparez à la moyenne arithmétique : (40 + 60 + 80) / 3 = 60

La moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique.

Propriétés

Relation avec d'autres moyennes

Pour les nombres positifs :

$MH \leq MG \leq MA$

Où MG est la moyenne géométrique et MA est la moyenne arithmétique. L'égalité n'est atteinte que lorsque toutes les valeurs sont identiques.

Relation réciproque

$MH(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{1}{MA\left(\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \ldots, \frac{1}{x_n}\right)}$

Sensibilité aux petites valeurs

Les petites valeurs ont une influence disproportionnée :

Valeurs : 1, 100, 100, 100

Moyenne arithmétique : 75.25 Moyenne harmonique : $\frac{4}{\frac{1}{1} + \frac{3}{100}} = \frac{4}{1.03} = 3.88$

Une petite valeur tire dramatiquement la moyenne harmonique vers le bas.

Moyenne harmonique pondérée

Lorsque les valeurs ont des poids différents :

$MH_p = \frac{\sum w_i}{\sum \frac{w_i}{x_i}}$

Exemple : Dépenser 100$au magasin A (2$/article) et 100$au magasin B (5$/article). Quel est le prix moyen par article ?

• Articles de A : 100/2 = 50 articles
• Articles de B : 100/5 = 20 articles
• Total : 70 articles pour 200$
• Prix moyen : 200/70 = 2.86$/article

En utilisant la moyenne harmonique avec poids égaux (dépenses égales) : $MH = \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}} = \frac{2}{0.7} = 2.86$ ✓

Applications

Finance

Coût de base moyen (moyenne d'achat périodique) :

Si vous investissez 1000$ mensuellement quel que soit le prix de l'action, votre coût moyen par action est la moyenne harmonique des prix.

Prix moyen arithmétique : 63.33$Moyenne harmonique :$\frac{3}{\frac{1}{50} + \frac{1}{40} + \frac{1}{100}} = 54.55$

Coût réel : 3000$/ 55 actions = 54.55$ ✓

Physique

• Résistances parallèles : $R_{total} = \frac{1}{\sum \frac{1}{R_i}}$ (lié à la moyenne harmonique)
• Équations de lentilles
• Vitesses moyennes pour distances égales

Apprentissage automatique

Score F1 est la moyenne harmonique de la précision et du rappel :

$F_1 = \frac{2}{\frac{1}{\text{précision}} + \frac{1}{\text{rappel}}} = \frac{2 \times P \times R}{P + R}$

Cela pénalise les modèles où précision et rappel sont déséquilibrés.

Biologie

• Taille effective de population en génétique
• Taux de croissance moyens

Limitations

Non définie pour zéro

Si une valeur est zéro, la moyenne harmonique n'est pas définie (division par zéro).

Solutions :

• Supprimer les zéros si approprié
• Utiliser une petite valeur positive comme substitut
• Considérer si la moyenne harmonique est appropriée pour vos données

Pas significative pour valeurs négatives

La moyenne harmonique suppose des valeurs positives. Les valeurs négatives peuvent produire des résultats trompeurs.

Sensible aux valeurs aberrantes (petites valeurs)

Contrairement à la moyenne arithmétique qui est sensible aux grandes valeurs aberrantes, la moyenne harmonique est extrêmement sensible aux petites valeurs.

Choisir la bonne moyenne

Les trois moyennes pythagoriciennes

Les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique sont appelées moyennes pythagoriciennes, connues depuis l'Antiquité.

Pour deux nombres positifs a et b :

• Arithmétique : $\frac{a + b}{2}$
• Géométrique : $\sqrt{ab}$
• Harmonique : $\frac{2ab}{a + b}$

Celles-ci satisfont : $MH \times MA = MG^2$

Contexte historique

La moyenne harmonique a été étudiée par les pythagoriciens en relation avec les harmoniques musicales. Le nom vient de son application aux intervalles musicaux — la moyenne harmonique des longueurs de cordes produit des tons harmonieux.

Archimède et les mathématiciens ultérieurs ont largement utilisé les trois moyennes pythagoriciennes en géométrie et théorie des nombres.

Calculs associés

• Calculateur de moyenne — Moyenne arithmétique
• Calculateur de moyenne géométrique — Moyenne pour taux de croissance
• Calculateur de moyenne pondérée — Moyenne arithmétique pondérée
• Calculateur de coefficient de variation — Variabilité relative

Résumé

La moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses. Utilisez-la pour moyenner des taux où le numérateur est constant : vitesses sur distances égales, prix pour dépenses égales, ou tout ratio où les dénominateurs varient. La moyenne harmonique est toujours inférieure ou égale aux moyennes géométrique et arithmétique. Elle n'est pas définie pour les valeurs nulles et très sensible aux petits nombres. Les applications courantes incluent les vitesses moyennes, la moyenne d'achat périodique, les scores F1 et les calculs de résistance parallèle.