Calculateur du test de Shapiro-Wilk

Utilisez le test de Shapiro-Wilk pour vérifier si vos données suivent une distribution normale (en courbe de cloche) avant d'exécuter des tests comme les tests t ou l'ANOVA qui supposent la normalité. C'est le test de normalité le plus fiable pour les échantillons de moins de 50 observations et vous aide à décider d'utiliser des tests paramétriques standard ou de passer à des alternatives non paramétriques qui ne nécessitent pas de données distribuées normalement.

Qu'est-ce que le test de Shapiro-Wilk ?

Le test de Shapiro-Wilk évalue si un échantillon provient d'une population distribuée normalement. Il est largement considéré comme le test de normalité le plus puissant pour les petites à moyennes tailles d'échantillon.

Question répondue : « Y a-t-il des preuves que ces données ne sont pas distribuées normalement ? »

Hypothèse nulle : Les données suivent une distribution normale. Alternative : Les données ne suivent pas une distribution normale.

Pourquoi tester la normalité ?

De nombreux tests statistiques supposent des données distribuées normalement :

• Tests t : Supposent des populations normales (ou de grands échantillons)
• ANOVA : Suppose des résidus normaux
• Corrélation de Pearson : Suppose la normalité bivariée pour l'inférence
• Régression linéaire : Suppose des résidus normaux

Violer les hypothèses de normalité peut conduire à :

• Valeurs p invalides
• Intervalles de confiance incorrects
• Conclusions trompeuses

Comment ça fonctionne

Le test compare les valeurs d'échantillon ordonnées aux valeurs attendues sous normalité.

Statistique de test

$W = \frac{\left(\sum_{i=1}^{n} a_i x_{(i)}\right)^2}{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

Où :

• $x_{(i)}$ = valeurs d'échantillon ordonnées (du plus petit au plus grand)
• $a_i$ = coefficients tabulés basés sur les statistiques d'ordre normales attendues
• $\bar{x}$ = moyenne d'échantillon

Interprétation

Valeur p

Si $p < \alpha$ (généralement 0,05), rejeter la normalité.

Si $p \geq \alpha$, preuves insuffisantes pour rejeter la normalité (ne prouve pas la normalité).

Exemple de calcul

Données : 23, 25, 27, 28, 29, 31, 33

Étape 1 : Ordonner les données et calculer la moyenne

Ordonnées : 23, 25, 27, 28, 29, 31, 33 Moyenne : 28

Étape 2 : Appliquer la formule de Shapiro-Wilk avec coefficients tabulés

Pour n = 7 : $a = (0,6233, 0,3031, 0,1401, 0)$

Étape 3 : Calculer W

$W = 0,987$ (le calcul implique des tables spécialisées)

Étape 4 : Trouver la valeur p

Pour $W = 0,987$ avec $n = 7$ : $p = 0,89$

Conclusion : Aucune preuve contre la normalité ($p = 0,89 > 0,05$).

Lignes directrices d'interprétation

Résultat significatif (p < 0,05)

Les données ne proviennent probablement pas d'une distribution normale.

Mais considérez :

• L'écart par rapport à la normalité est-il pratiquement important ?
• Avec de grands échantillons, même des écarts triviaux sont significatifs
• Quelle est la forme réelle de la distribution ?

Résultat non significatif (p ≥ 0,05)

Nous ne pouvons pas conclure que les données sont distribuées normalement — seulement que nous manquons de preuves contre la normalité.

Rappelez-vous :

• « Non significatif » ≠ « normal »
• Faible puissance avec de petits échantillons
• Considérez aussi les méthodes visuelles

Considérations de taille d'échantillon

Petits échantillons (n < 20)

• Faible puissance pour détecter la non-normalité
• Les résultats non significatifs sont des preuves faibles
• L'inspection visuelle est tout aussi importante

Échantillons modérés (20-50)

• Puissance raisonnable
• Bon équilibre de sensibilité

Grands échantillons (n > 50)

• Très grande puissance
• Peut rejeter la normalité pour des écarts triviaux
• La signification pratique importe plus que la signification statistique

Très grands échantillons (n > 5000)

• Rejette presque toujours la normalité
• Même les données approximativement normales échoueront
• Se concentrer sur l'évaluation visuelle et l'effet sur votre analyse réelle

Compléter avec des méthodes visuelles

Graphique Q-Q (Quantile-Quantile)

Tracer les quantiles d'échantillon contre les quantiles normaux théoriques.

• Points sur ligne diagonale → Normal
• Courbe en S → Asymétrie
• Queues lourdes → Problèmes de kurtosis

Histogramme

Évaluation visuelle de la symétrie et de la forme en cloche.

Diagramme en boîte

Vérifier la symétrie et les valeurs aberrantes.

Alternatives à Shapiro-Wilk

Test de Kolmogorov-Smirnov

Compare l'échantillon à toute distribution spécifiée. Moins puissant que Shapiro-Wilk pour la normalité spécifiquement.

Test d'Anderson-Darling

Pondère davantage les observations de queue. Bon pour détecter les écarts de queue.

Test de D'Agostino-Pearson

Utilise l'asymétrie et le kurtosis. Fonctionne bien pour les échantillons plus grands.

Test de Lilliefors

Kolmogorov-Smirnov modifié lorsque la moyenne et la variance sont estimées à partir des données.

Que faire si la normalité est rejetée

Option 1 : Utiliser des tests non paramétriques

• Mann-Whitney au lieu du test t
• Kruskal-Wallis au lieu de l'ANOVA
• Spearman au lieu de Pearson

Option 2 : Transformer les données

• Transformation logarithmique pour asymétrie droite
• Racine carrée pour données de comptage
• Transformation de Box-Cox

Option 3 : Procéder avec prudence

De nombreux tests sont robustes aux violations légères de normalité, surtout avec :

• Grands échantillons (Théorème central limite)
• Tailles de groupe égales
• Variances similaires

Option 4 : Utiliser des méthodes robustes

• Bootstrap
• Tests de permutation
• Moyennes tronquées

Idées fausses courantes

« Significatif = Non-Normal »

Vrai, mais l'écart peut être trivial. Un échantillon d'une population parfaitement normale échouera occasionnellement le test.

« Non significatif = Normal »

Faux. La non-significativité signifie seulement preuves insuffisantes contre la normalité — pas une preuve de normalité.

« Doit transformer si non-normal »

Pas toujours. De nombreuses analyses sont robustes à la non-normalité, surtout avec des échantillons plus grands.

« Le test de normalité doit toujours être effectué »

Pas nécessairement. Avec de grands échantillons, le théorème central limite rend souvent la normalité moins critique. L'évaluation visuelle peut être plus utile.

Rapporter les résultats

Lorsque la normalité n'est pas rejetée :

« Un test de Shapiro-Wilk a indiqué que les résidus étaient approximativement distribués normalement, W = 0,98, p = ,42. »

Lorsque la normalité est rejetée :

« Un test de Shapiro-Wilk a indiqué un écart significatif par rapport à la normalité, W = 0,91, p = ,003. L'inspection du graphique Q-Q a suggéré une asymétrie positive modérée. »

Applications

Avant les tests paramétriques

Tester les résidus ou les données de groupe avant les tests t, l'ANOVA ou la régression.

Contrôle qualité

Vérifier que les mesures de processus suivent la distribution normale attendue.

Validation de recherche

Confirmer les hypothèses distributionnelles pour les modèles statistiques.

Contexte historique

Samuel Shapiro et Martin Wilk ont introduit ce test en 1965. Il est rapidement devenu le test de normalité préféré en raison de sa puissance supérieure, surtout pour les petits échantillons.

Le test était computationnellement difficile avant les ordinateurs — les coefficients $a_i$ nécessitaient des tables spécialisées. Les logiciels modernes l'ont rendu accessible pour toute taille d'échantillon jusqu'à plusieurs milliers.

Calculs connexes

• Calculateur d'asymétrie — Mesurer l'asymétrie
• Calculateur de kurtosis — Mesurer le poids des queues
• Calculateur de score Z — Standardisation
• Calculateur de probabilité normale — Distribution normale

Résumé

Le test de Shapiro-Wilk évalue si les données proviennent d'une distribution normale. Un résultat significatif (p < 0,05) suggère la non-normalité ; un résultat non significatif ne prouve pas la normalité. Le test est plus utile pour les échantillons petits à modérés — les grands échantillons rejettent souvent la normalité même pour des données approximativement normales. Toujours compléter avec des méthodes visuelles (graphiques Q-Q, histogrammes). Si la normalité est rejetée, considérer les alternatives non paramétriques, la transformation des données, ou évaluer si votre analyse est robuste à l'écart observé.