Calculateur de test t à un échantillon

Testez si la moyenne diffère d'une valeur.

Données d'échantillon

Moyenne hypothétique (μ₀)

Hypothèse alternative

Niveau de signification (α)

Entrez au moins 2 valeurs de données

Exemples :

Afficher les étapes de calcul

Entrez les données d'échantillon et la moyenne hypothétique

Qu'est-ce qu'un test t pour un échantillon ?

Le test t pour un échantillon détermine si une moyenne d'échantillon diffère significativement d'une moyenne de population hypothétisée.

Question posée : « La vraie moyenne est-elle différente de cette valeur spécifique ? »

Exemple : « La note de test moyenne est-elle différente du seuil de réussite de 70 ? »

Les hypothèses

Hypothèse nulle ( $H_0$ ) : $\mu = \mu_0$ (la moyenne de population égale la valeur hypothétisée)

Hypothèse alternative ( $H_1$ ) :

Bilatérale : $\mu \neq \mu_0$ (la moyenne est différente)
Unilatérale droite : $\mu > \mu_0$ (la moyenne est supérieure)
Unilatérale gauche : $\mu < \mu_0$ (la moyenne est inférieure)

La statistique de test

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$

Où :

$\bar{x}$ = moyenne d'échantillon
$\mu_0$ = moyenne de population hypothétisée
$s$ = écart type de l'échantillon
$n$ = taille d'échantillon

La statistique t suit une distribution t avec $df = n - 1$ .

Exemple de calcul

Scénario : Tester si le nombre moyen de pas quotidiens diffère des 10 000 recommandés.

Données : 25 participants, moyenne = 8 450 pas, ET = 2 100 pas

Calcul :

$t = \frac{8450 - 10000}{2100 / \sqrt{25}} = \frac{-1550}{420} = -3,69$

Valeur p : Pour $df = 24$ (bilatéral), $p \approx 0,001$

Conclusion : La moyenne de l'échantillon est significativement inférieure à 10 000 pas ( $p < 0,01$ ).

Applications

Contrôle qualité

« Le processus de production atteint-il le poids cible ? »

$H_0: \mu = 500g$

Échantillon : 30 produits, moyenne = 497g, ET = 8g

Tester si la moyenne diffère de la cible.

Évaluation éducative

« Les étudiants performent-ils différemment de la moyenne nationale ? »

$H_0: \mu = 75$ (moyenne nationale)

Échantillon : Moyenne de classe = 81, ET = 12, n = 28

Recherche en santé

« La pression artérielle moyenne dans cette population est-elle différente de la normale ? »

$H_0: \mu = 120$ mmHg

Échantillon : Moyenne = 128, ET = 15, n = 45

Surveillance de processus

« La moyenne a-t-elle changé par rapport à la référence établie ? »

Comparer l'échantillon actuel à la norme historique.

Interpréter les résultats

Interprétation de la valeur p

Valeur p	Interprétation
p < 0,01	Preuve forte contre H₀
p < 0,05	Preuve modérée contre H₀
p < 0,10	Preuve faible contre H₀
p ≥ 0,10	Preuve insuffisante contre H₀

Lien avec l'intervalle de confiance

Un IC à 95% qui exclut $\mu_0$ correspond à $p < 0,05$ .

$IC = \bar{x} \pm t^* \times ES$

Si $\mu_0$ est hors de cet intervalle, rejetez $H_0$ .

Unilatéral vs. bilatéral

Bilatéral (par défaut) : Teste la différence dans les deux directions. À utiliser quand une augmentation ou une diminution est intéressante.

Unilatéral : Teste la différence dans une direction spécifique. A plus de puissance mais nécessite une justification préalable.

Valeur p bilatérale = 2 × valeur p unilatérale

Hypothèses

Normalité

La population devrait être approximativement normalement distribuée, OU l'échantillon devrait être assez grand ( $n > 30$ ) pour que le théorème central limite s'applique.

Vérifiez avec :

Histogramme ou diagramme QQ
Asymétrie et aplatissement
Tests formels de normalité (Shapiro-Wilk)

Indépendance

Les observations doivent être indépendantes—une mesure ne devrait pas influencer une autre.

Échantillonnage aléatoire

L'échantillon devrait être sélectionné aléatoirement de la population d'intérêt.

Quand utiliser le test t pour un échantillon

Approprié :

Comparer la moyenne d'échantillon à une norme connue
Tester contre une valeur théorique
Comparer à une norme publiée
Contrôle de processus contre cible

Non approprié :

Comparer deux moyennes d'échantillon (utilisez le test t pour deux échantillons)
Données non numériques (utilisez le khi-deux)
Données sévèrement non normales avec petit n (utilisez Wilcoxon)

Taille d'effet : d de Cohen

Au-delà de la signification, rapportez la taille d'effet :

$d = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s}$

d	Interprétation
0,2	Petit effet
0,5	Effet moyen
0,8	Grand effet

Dans l'exemple des pas : $d = \frac{8450 - 10000}{2100} = -0,74$ (effet moyen-grand)

Contexte historique

William Gosset (Student) a développé le test t en 1908 à la brasserie Guinness.

Le cas d'un échantillon était son objectif original : tester si la qualité des lots répondait aux normes lorsque les tailles d'échantillon étaient petites.

Son travail a permis une inférence rigoureuse avec des données limitées—auparavant, de grands échantillons étaient nécessaires pour des conclusions valides.

Rapporter les résultats

Format APA :

« Un test t pour un échantillon a révélé que le nombre moyen de pas quotidiens (M = 8 450, ET = 2 100) était significativement inférieur aux 10 000 pas recommandés, t(24) = -3,69, p = 0,001, d = -0,74. »

Incluez toujours :

Statistiques d'échantillon (M, ET, n)
Statistique de test et df
Valeur p
Taille d'effet

Calculs associés

Test t pour deux échantillons — Comparer deux groupes
Test t apparié — Mesures répétées
Intervalle de confiance pour la moyenne — Estimation par intervalle
Calculateur de distribution t — Valeurs p
Calculateur de d de Cohen — Taille d'effet

Résumé

Le test t pour un échantillon détermine si une moyenne d'échantillon diffère significativement d'une valeur hypothétisée. La statistique de test divise la différence (moyenne d'échantillon moins moyenne hypothétisée) par l'erreur standard, produisant une valeur t comparée à la distribution t. Les hypothèses incluent la normalité (ou grand n), l'indépendance et l'échantillonnage aléatoire. Rapportez toujours les tailles d'effet avec les valeurs p pour communiquer la signification pratique, et utilisez des intervalles de confiance pour montrer la plage de moyennes de population plausibles.