Calculateur de test des rangs signés de Wilcoxon

Qu'est-ce que le test des rangs signés de Wilcoxon ?

Le test des rangs signés de Wilcoxon compare deux mesures liées (données appariées) lorsque la normalité ne peut être supposée. C'est l'alternative non paramétrique au test t apparié.

Question posée : « Y a-t-il une différence systématique entre les mesures appariées ? »

Exemples :

• « Les patients se sont-ils améliorés après le traitement ? » (avant-après sur les mêmes patients)
• « Les gens évaluent-ils le produit A plus favorablement que le produit B ? » (mêmes personnes évaluant les deux)
• « Les mesures du lundi sont-elles différentes de celles du vendredi ? » (mêmes sujets les deux jours)

Pourquoi rang signé ?

Le test utilise à la fois :

Signe : Direction du changement (positif ou négatif) Rang : Amplitude du changement (quelle taille)

Cela le rend plus puissant que le test des signes (qui ignore l'amplitude) tout en restant robuste à la non-normalité.

Comment ça fonctionne

Étape 1 : Calculer les différences

Étape 2 : Exclure les différences nulles

Le sujet 4 a une différence = 0. Exclure de l'analyse.

n = 5 (sujets restants)

Étape 3 : Classer les différences absolues

| Sujet | Différence | |Différence| | Rang | |---------|------------|--------------|------| | 2 | +2 | 2 | 1 | | 5 | -6 | 6 | 2 | | 1 | -7 | 7 | 3 | | 3 | -9 | 9 | 4,5 | | 6 | -9 | 9 | 4,5 |

Les valeurs égales (les deux 9) obtiennent le rang moyen (4+5)/2 = 4,5.

Étape 4 : Sommer les rangs positifs et négatifs

W⁺ = 1 (somme des rangs pour les différences positives) W⁻ = 2 + 3 + 4,5 + 4,5 = 14 (somme des rangs pour les différences négatives)

Étape 5 : Calculer la statistique de test

W = min(W⁺, W⁻) = 1

Étape 6 : Déterminer la valeur p

Comparer W aux valeurs critiques pour n = 5, ou utiliser l'approximation normale pour les échantillons plus grands.

Pour n = 5, W = 1 : p ≈ 0,063 (bilatéral)

Conclusion : Preuve limite que les valeurs après sont plus basses (p = 0,063).

Formulations alternatives

Différents logiciels peuvent rapporter :

W (comme ci-dessus) : Minimum de W⁺ et W⁻ T : Identique à W (notation différente) V : Somme des rangs positifs uniquement (W⁺) z : Statistique d'approximation normale

Tous conduisent à la même valeur p.

Approximation normale

Pour n > 25 (certains disent n > 10) :

$z = \frac{W - \mu_W}{\sigma_W}$

Où :

• $\mu_W = \frac{n(n+1)}{4}$
• $\sigma_W = \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}}$

Avec correction pour égalités :

$\sigma_W = \sqrt{\frac{n(n+1)(2n+1)}{24} - \frac{\sum t(t^2-1)}{48}}$

où t = nombre d'égalités à chaque rang.

Gestion des égalités

Égalités dans les différences (zéros) : Exclure de l'analyse. Certaines méthodes les incluent avec une gestion spéciale.

Égalités dans les différences absolues : Attribuer des rangs moyens (comme montré dans l'exemple).

Appliquer la correction pour égalités à l'erreur standard.

Exemple : Effet du traitement

Scénario : Scores de douleur (0-10) avant et après thérapie pour 12 patients.

| Patient | Avant | Après | Diff | |Diff| | Rang | Rang signé | |---------|--------|-------|------|--------|------|-------------| | 1 | 7 | 4 | -3 | 3 | 5,5 | -5,5 | | 2 | 8 | 6 | -2 | 2 | 3 | -3 | | 3 | 5 | 6 | +1 | 1 | 1,5 | +1,5 | | 4 | 9 | 5 | -4 | 4 | 8,5 | -8,5 | | 5 | 6 | 5 | -1 | 1 | 1,5 | -1,5 | | 6 | 8 | 3 | -5 | 5 | 10,5 | -10,5 | | 7 | 7 | 7 | 0 | - | - | (exclu) | | 8 | 9 | 6 | -3 | 3 | 5,5 | -5,5 | | 9 | 6 | 4 | -2 | 2 | 3 | -3 | | 10 | 8 | 7 | -1 | 1 | 1,5 | -1,5 | | 11 | 7 | 3 | -4 | 4 | 8,5 | -8,5 | | 12 | 8 | 3 | -5 | 5 | 10,5 | -10,5 |

n = 11 (excluant le patient 7)

W⁺ = 1,5 W⁻ = 5,5 + 3 + 8,5 + 1,5 + 10,5 + 5,5 + 3 + 1,5 + 8,5 + 10,5 = 58,5

W = 1,5

Valeur p : p < 0,01

Conclusion : Réduction significative de la douleur après thérapie.

Taille d'effet

Corrélation rang-biseriale pour paires appariées :

$r = 1 - \frac{4W}{n(n+1)}$

Ou : $r = \frac{W^+ - W^-}{n(n+1)/2}$

Quand utiliser le rang signé de Wilcoxon

Approprié

• Données appariées/appariées
• Distribution de différence non normale
• Données ordinales
• Petits échantillons avec distribution inconnue
• Données avec valeurs aberrantes

Non approprié

• Groupes indépendants (utiliser Mann-Whitney)
• Plus de deux conditions (utiliser test de Friedman)
• Résultat continu lorsque la normalité tient (test t apparié plus puissant)

Comparaison avec le test t apparié

Comparaison avec le test des signes

Applications

Recherche médicale

• Comparaisons pré-post traitement
• Essais croisés
• Études d'auto-contrôle

Psychologie

• Expériences intra-sujet
• Comparaisons test-retest
• Effets d'intervention

Contrôle qualité

• Changements de processus avant-après
• Mesures appariées d'instruments différents

Recherche sur les consommateurs

• Tests de préférence appariés
• Comparaisons d'évaluations pour les mêmes répondants

Hypothèses

Données appariées

Chaque observation dans une condition est appariée avec une observation spécifique dans l'autre.

Indépendance des paires

Différentes paires sont indépendantes (la différence d'un sujet n'affecte pas celle d'un autre).

Différences continues et symétriques

La distribution des différences devrait être symétrique autour de sa médiane.

Note : Moins strict que l'exigence de normalité du test t apparié.

Échelle ordinale (minimum)

Les différences peuvent être classées de manière significative.

Erreurs courantes

Utiliser pour des groupes indépendants

Le rang signé de Wilcoxon est pour des données appariées. Utiliser Mann-Whitney pour des groupes indépendants.

Ne pas exclure les zéros

Les différences nulles devraient être exclues (ou gérées spécialement).

Confondre avec la somme des rangs de Wilcoxon

« Rang signé de Wilcoxon » = données appariées « Somme des rangs de Wilcoxon » = groupes indépendants (= Mann-Whitney)

Ignorer l'hypothèse de symétrie

Avec des différences hautement asymétriques, l'interprétation est compliquée.

Rapporter les résultats

Format APA :

« Un test des rangs signés de Wilcoxon a indiqué que les scores de douleur étaient significativement plus bas après thérapie (Med = 4,5) qu'avant (Med = 7,5), W = 1,5, p < 0,01, r = 0,73. »

Inclure :

• Statistique W (ou z si utilisation de l'approximation)
• Valeur p
• Médianes pour les deux conditions
• Taille d'effet

Contexte historique

Frank Wilcoxon a introduit ce test en 1945, avec le test de somme des rangs pour échantillons indépendants.

Ces méthodes basées sur les rangs ont fourni des alternatives aux tests t lorsque la normalité ne pouvait être supposée - répondant à un besoin réel dans la recherche appliquée où les données sont souvent asymétriques.

L'approche de Wilcoxon d'utiliser les rangs pour créer des tests sans distribution était révolutionnaire et a engendré tout un domaine de statistiques non paramétriques.

Application pour un échantillon

Le test peut comparer un échantillon unique à une médiane hypothétique :

1. Calculer les différences par rapport à la valeur hypothétique
2. Appliquer la procédure de rang signé

C'est l'alternative non paramétrique au test t pour un échantillon.

Calculs associés

• Test t apparié — Test apparié paramétrique
• Test U de Mann-Whitney — Non paramétrique indépendant
• Test des signes — Non paramétrique apparié plus simple
• Calculateur de médiane — Statistique descriptive

Résumé

Le test des rangs signés de Wilcoxon compare les mesures appariées en analysant les signes et rangs des différences. C'est l'alternative non paramétrique au test t apparié, approprié lorsque les différences ne sont pas normalement distribuées. Calculer les différences, classer leurs valeurs absolues, sommer les rangs positifs et négatifs séparément, et utiliser la plus petite somme comme statistique de test. Le test suppose des différences symétriques et des paires indépendantes. Rapporter W, valeur p, médianes et taille d'effet. Utiliser lorsque la normalité est douteuse ou que les données sont ordinales, mais noter que le test t apparié est plus puissant lorsque la normalité tient.