Calculateur de test chi-carré

Qu'est-ce que le test d'indépendance du khi-deux ?

Le test d'indépendance du khi-deux détermine si deux variables catégorielles sont associées ou indépendantes.

Question posée : « Existe-t-il une relation entre ces deux variables catégorielles ? »

Exemples :

• « La préférence de vote est-elle liée au sexe ? »
• « Le résultat du traitement est-il associé au type de traitement ? »
• « La préférence du produit est-elle liée au groupe d'âge ? »

Indépendance vs. association

Variables indépendantes : Connaître l'une ne vous dit rien sur l'autre.

Variables associées : Connaître l'une change votre prédiction de l'autre.

Exemple : Si 60 % des hommes préfèrent le produit A et que 60 % des femmes préfèrent également le produit A, le sexe et la préférence sont indépendants. Si 70 % des hommes mais seulement 40 % des femmes préfèrent le produit A, ils sont associés.

La table de contingence

Les données sont organisées dans un tableau à double entrée :

Fréquences observées : Ce que nous avons réellement compté. Fréquences attendues : Ce que nous attendrions si les variables étaient indépendantes.

Calcul des fréquences attendues

$E = \frac{\text{Total ligne} \times \text{Total colonne}}{\text{Total général}}$

Pour la cellule (Groupe 1, Résultat A) :

$E = \frac{50 \times 45}{100} = 22,5$

Si indépendants, les deux groupes auraient les mêmes proportions (45 % A, 55 % B).

La statistique du khi-deux

$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$

Somme sur toutes les cellules.

$\chi^2 = 9,09$

Degrés de liberté

$ddl = (r - 1) \times (c - 1)$

Où $r$ = lignes, $c$ = colonnes.

Pour table 2×2 : $ddl = 1 \times 1 = 1$

Pour table 3×4 : $ddl = 2 \times 3 = 6$

Trouver la valeur p

Comparer χ² à la distribution du khi-deux avec les ddl appropriés.

Pour χ² = 9,09, ddl = 1 : p = 0,0026

Conclusion : Association significative entre groupe et résultat (p < 0,01).

Taille d'effet : V de Cramér

Le khi-deux augmente avec la taille de l'échantillon. Pour une taille d'effet interprétable :

$V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n \times \min(r-1, c-1)}}$

Pour 2×2 : V = √(9,09 / 100) = 0,30

*df est le plus petit de (r-1) ou (c-1)

La correction de continuité (Yates)

Pour les tables 2×2 avec de petites fréquences attendues :

$\chi^2 = \sum \frac{(|O - E| - 0,5)^2}{E}$

Réduit légèrement le khi-deux, rendant le test plus conservateur.

Utiliser lorsque : Toute fréquence attendue est entre 5 et 10.

Recommandation moderne : Souvent inutile avec des tailles d'échantillon adéquates.

Hypothèses et exigences

Fréquences attendues

Règle traditionnelle : Toutes les valeurs attendues ≥ 5.

Recommandations modernes :

• Aucune fréquence attendue < 1
• Pas plus de 20 % des cellules avec attendu < 5

Si violé : Utiliser le test exact de Fisher.

Indépendance des observations

Chaque observation appartient à exactement une cellule. Aucun sujet n'apparaît dans plusieurs cellules.

Échantillonnage aléatoire

Les données représentent un échantillon aléatoire de la population d'intérêt.

Tables 2×2 : Formule directe

Pour la disposition standard 2×2 :

$\chi^2 = \frac{n(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

Équivalent à la formule générale mais plus simple à calculer.

Tables plus grandes

Pour les tables r×c au-delà de 2×2, le test indique si une association existe quelque part dans la table.

Résultat significatif : Au moins une cellule s'écarte de l'indépendance.

Prochaines étapes : Examiner les résidus standardisés pour identifier quelles cellules s'écartent le plus.

Résidus standardisés

$\frac{O - E}{\sqrt{E}}$

Les valeurs > 2 ou < -2 indiquent les cellules qui contribuent le plus à l'association.

Applications

Recherche médicale

Réponse au traitement par groupe de traitement. Incidence de maladie par catégorie d'exposition.

Sciences sociales

Affiliation politique par variables démographiques. Réponses au sondage par caractéristiques des répondants.

Marketing

Décisions d'achat par segments de clients. Préférence de marque par région géographique.

Contrôle qualité

Types de défauts par ligne de production. Réussite/échec par équipe ou opérateur.

Génétique

Fréquences alléliques entre populations. Associations de phénotypes.

Idées fausses courantes

Le khi-deux montre la causalité

Faux. Il montre l'association, pas la causalité. D'autres variables peuvent expliquer la relation.

Un grand χ² signifie une forte association

Partiellement vrai. χ² dépend de la taille de l'échantillon. Utiliser le V de Cramér pour la taille d'effet.

Toujours utiliser le khi-deux pour les données catégorielles

Faux. Pour les données appariées/jumelées, utiliser le test de McNemar. Pour les catégories ordonnées, envisager des méthodes ordinales.

Khi-deux vs. autres tests

Test exact de Fisher

Utiliser lorsque les fréquences attendues sont trop petites pour le khi-deux.

Test Z pour proportions

Pour comparer directement deux proportions. Équivalent au khi-deux pour les tables 2×2.

Test G (Ratio de vraisemblance)

Propriétés similaires au khi-deux. Certains le préfèrent pour des raisons théoriques.

Test de McNemar

Pour données catégorielles appariées (avant-après sur les mêmes sujets).

Présentation des résultats

Format APA :

« Un test d'indépendance du khi-deux a révélé une association significative entre l'appartenance au groupe et le résultat, χ²(1) = 9,09, p = ,003, V = ,30. Le groupe 1 était plus susceptible de montrer le résultat A (60 %) comparé au groupe 2 (30 %). »

Inclure :

• Valeur du khi-deux et ddl
• Valeur p
• Taille d'effet (V de Cramér)
• Pourcentages descriptifs ou effectifs

Contexte historique

Karl Pearson a développé le test du khi-deux en 1900, ce qui en fait l'un des plus anciens tests d'hypothèses formels encore couramment utilisés.

Pearson était motivé par le besoin de comparer les fréquences observées aux attentes théoriques—initialement pour tester si les dés étaient équitables ou si les modèles d'héritage suivaient les ratios prédits.

La distribution du khi-deux elle-même avait été décrite plus tôt, mais Pearson a établi son application aux tables de contingence et aux tests d'ajustement.

Calculs connexes

• Ajustement du khi-deux — Une variable
• Test exact de Fisher — Petits échantillons
• Test Z pour deux proportions — Comparer les proportions
• Distribution du khi-deux — Valeurs p
• Calculateur de rapport de cotes — Taille d'effet 2×2

Résumé

Le test d'indépendance du khi-deux évalue si deux variables catégorielles sont associées en comparant les fréquences observées à celles attendues sous indépendance. Calculer les valeurs attendues comme (total ligne × total colonne) / total général, calculer χ² = Σ(O-E)²/E, et comparer à la distribution du khi-deux avec (r-1)(c-1) degrés de liberté. Les hypothèses nécessitent des fréquences attendues adéquates (≥5 dans la plupart des cellules). Rapporter le khi-deux, les ddl, la valeur p et le V de Cramér pour la taille d'effet. Pour les tables 2×2 avec de petites valeurs attendues, utiliser plutôt le test exact de Fisher.