Calculateur de test Z à deux proportions

Qu'est-ce qu'un test z pour deux proportions ?

Le test z pour deux proportions détermine si deux proportions de population diffèrent significativement l'une de l'autre.

Question posée : « Ces deux groupes ont-ils des taux/proportions différents ? »

Exemples :

• « Le taux de conversion est-il différent entre les variantes A et B du site web ? »
• « Les hommes et les femmes ont-ils des préférences de vote différentes ? »
• « Le taux de succès est-il plus élevé pour le nouveau traitement par rapport au standard ? »

Les hypothèses

Hypothèse nulle (H₀) : p₁ = p₂ (les proportions sont égales)

Hypothèse alternative (H₁) :

• Bilatéral : p₁ ≠ p₂ (les proportions diffèrent)
• Unilatéral à droite : p₁ > p₂ (la première proportion est plus grande)
• Unilatéral à gauche : p₁ < p₂ (la première proportion est plus petite)

La statistique de test

$z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}}$

Où :

• $\hat{p}_1 = x_1/n_1$ (proportion de l'échantillon 1)
• $\hat{p}_2 = x_2/n_2$ (proportion de l'échantillon 2)
• $\hat{p} = (x_1 + x_2)/(n_1 + n_2)$ (proportion poolée)

La proportion poolée suppose que $H_0$ est vraie (les deux populations ont le même taux).

Exemple de calcul

Scénario : Test A/B comparant deux pages de destination.

Données :

• Page A : 45 conversions sur 1 200 visiteurs (p̂₁ = 0,0375)
• Page B : 72 conversions sur 1 500 visiteurs (p̂₂ = 0,0480)

Proportion poolée : p̂ = (45 + 72) / (1 200 + 1 500) = 117/2 700 = 0,0433

Erreur standard : SE = √[0,0433 × 0,9567 × (1/1200 + 1/1500)] SE = √[0,0414 × 0,00150] = √0,0000621 = 0,00788

Statistique de test : z = (0,0375 - 0,0480) / 0,00788 = -1,33

Valeur p : Pour un test bilatéral, p = 0,183

Conclusion : Pas de différence significative entre les pages (p > 0,05).

Erreur standard poolée vs non poolée

Poolée (pour les tests d'hypothèses)

Utilise la proportion combinée en supposant que $H_0$ est vraie :

$SE_{\text{poolée}} = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}$

Non poolée (pour les intervalles de confiance)

Utilise les proportions d'échantillon séparées :

$SE_{\text{non poolée}} = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$

Pourquoi différent ? Le test d'hypothèse suppose des proportions égales ; l'intervalle de confiance estime la différence réelle.

Intervalle de confiance pour la différence

$IC = (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z^* \times SE_{\text{non poolée}}$

Pour un IC à 95 % ($z^* = 1,96$) :

$IC = (0,0375 - 0,0480) \pm 1,96 \times SE_{\text{non poolée}} = -0,0105 \pm 0,0154 = (-0,0259, 0,0049)$

L'intervalle inclut 0, cohérent avec le résultat de test non significatif.

Hypothèses

Indépendance

• Les observations au sein de chaque groupe sont indépendantes
• Les groupes sont indépendants l'un de l'autre
• Aucun sujet n'apparaît dans les deux groupes

Taille d'échantillon adéquate

Les deux groupes doivent avoir :

• n₁p̂₁ ≥ 10 et n₁(1-p̂₁) ≥ 10
• n₂p̂₂ ≥ 10 et n₂(1-p̂₂) ≥ 10

Si violé : Utiliser le test exact de Fisher.

Échantillonnage aléatoire

Les échantillons représentent leurs populations respectives.

Applications

Tests A/B

Le cas d'utilisation classique : comparer les taux de conversion entre variantes.

• Versions de site web
• Lignes d'objet d'e-mail
• Créations publicitaires
• Stratégies de prix

Essais cliniques

Comparer les taux de succès des traitements.

• Médicament vs placebo
• Nouveau traitement vs standard
• Dosages différents

Études de marché

Comparer les préférences ou comportements entre segments.

• Notoriété de marque par démographie
• Intention d'achat par groupe d'exposition

Contrôle qualité

Comparer les taux de défauts entre :

• Lignes de production
• Équipes
• Fournisseurs
• Périodes de temps

Sciences sociales

Comparer les proportions entre populations.

• Modèles de vote par démographie
• Réponses d'enquête par groupe

Unilatéral vs bilatéral

Bilatéral (par défaut) : Teste toute différence entre proportions. « Les taux sont-ils différents ? »

Unilatéral : Teste la différence dans une direction spécifique. « Le nouveau traitement est-il meilleur (pas seulement différent) ? »

L'unilatéral nécessite une justification préalable. Ne pas choisir après avoir vu les résultats.

Taille d'effet : h de Cohen

$h = 2 \arcsin(\sqrt{p_1}) - 2 \arcsin(\sqrt{p_2})$

Ou utiliser directement la différence :

Différence de risque = $p_1 - p_2$ (différence absolue)

Risque relatif = $p_1/p_2$ (ratio)

Relation avec le chi-carré

Pour les tableaux 2×2 :

z² = χ² (avec ddl = 1)

Le test z pour deux proportions est mathématiquement équivalent au test du chi-carré d'indépendance pour les tableaux 2×2.

Avantage du test z : Fournit une information directionnelle (z positif ou négatif).

Erreurs courantes

Comparer des proportions dépendantes

Si les mêmes sujets sont mesurés deux fois (avant/après), utiliser le test de McNemar, pas le test z pour deux proportions.

Utiliser SE non poolée pour le test d'hypothèse

La SE poolée suppose que H₀ est vraie, ce qui est approprié pour les tests d'hypothèses.

Ignorer les exigences de taille d'échantillon

Avec de petits échantillons ou des proportions extrêmes, utiliser le test exact de Fisher.

Comparaisons multiples

Tester de nombreuses variantes augmente le taux de faux positifs. Utiliser des ajustements (Bonferroni) ou des procédures de contrôle.

Rapporter les résultats

Format APA :

« Un test z pour deux proportions n'a indiqué aucune différence significative dans les taux de conversion entre la Page A (3,75 %, n = 1 200) et la Page B (4,80 %, n = 1 500), z = -1,33, p = 0,183, IC 95 % pour la différence [-2,59 %, 0,49 %]. »

Inclure :

• Les deux proportions d'échantillon et tailles
• Statistique z
• Valeur p
• Intervalle de confiance pour la différence

Planification de la taille d'échantillon

Pour une puissance adéquate, utiliser :

n par groupe = 2 × [z₁₋α/₂ × √(2p̄q̄) + z₁₋β × √(p₁q₁ + p₂q₂)]² / (p₁ - p₂)²

Utiliser le calculateur de taille d'échantillon pour test A/B pour la planification.

Correction de continuité

Pour une meilleure approximation avec des échantillons plus petits :

z = (|p̂₁ - p̂₂| - 1/2 × (1/n₁ + 1/n₂)) / SE

Rend le test légèrement plus conservateur.

Mesures associées

Différence de risque (absolue)

DR = p₁ - p₂

« Le traitement augmente le succès de 5 points de pourcentage. »

Risque relatif

RR = p₁/p₂

« Les patients traités ont 1,5 fois plus de chances de réussir. »

Rapport de cotes

RC = [p₁/(1-p₁)] / [p₂/(1-p₂)]

« Les chances de succès sont 2,3 fois plus élevées avec le traitement. »

Contexte historique

Le test z pour deux proportions s'est développé parallèlement au cadre plus large de la théorie des grands échantillons à la fin du 19e et au début du 20e siècle.

Le test applique le théorème central limite : les proportions d'échantillon sont approximativement normales pour un grand n, donc leur différence est également approximativement normale.

Avec l'informatique moderne, le test z approximatif est souvent remplacé par des méthodes exactes (Fisher) pour les petits échantillons, mais reste la norme pour l'inférence sur les proportions avec de grands échantillons.

Extensions

Analyse stratifiée

Lors de la comparaison de proportions entre strates (par ex., groupes d'âge), utiliser Mantel-Haenszel ou des méthodes stratifiées.

Groupes multiples

Pour comparer les proportions sur 3+ groupes, utiliser le test du chi-carré d'indépendance.

Tests séquentiels

Dans les tests A/B en cours, utiliser des méthodes d'analyse séquentielle pour contrôler les taux d'erreur avec plusieurs examens des données.

Calculs associés

• Test z pour une proportion — Proportion unique vs valeur
• Test d'indépendance du chi-carré — Association catégorielle
• Test exact de Fisher — Petits échantillons
• Intervalle de confiance pour la différence de proportions — Estimation par intervalle
• Taille d'échantillon pour test A/B — Planification
• Calculateur de risque relatif — Taille d'effet

Résumé

Le test z pour deux proportions détermine si les proportions diffèrent entre deux groupes indépendants en calculant z = (p̂₁ - p̂₂) / SE, utilisant une erreur standard poolée qui suppose des proportions égales sous H₀. Le test nécessite des tailles d'échantillon adéquates (np ≥ 10 pour les succès et échecs dans les deux groupes) ; sinon utiliser le test exact de Fisher. Rapporter les deux proportions, la statistique z, la valeur p et l'intervalle de confiance pour la différence. Le test est mathématiquement équivalent au chi-carré pour les tableaux 2×2 mais fournit une information directionnelle par le signe de z.