Calculateur de test d'ajustement chi-carré

Qu'est-ce que le test d'ajustement du khi-deux ?

Le test d'ajustement du khi-deux détermine si les fréquences observées correspondent aux fréquences attendues pour une seule variable catégorielle.

Question posée : « La distribution observée correspond-elle à la distribution attendue ? »

Exemples :

• « Ce dé est-il équilibré ? » (attendre des fréquences égales pour 1-6)
• « Notre clientèle correspond-elle aux données démographiques de la population générale ? »
• « Les réponses au sondage suivent-elles les proportions attendues ? »

Ajustement vs. indépendance

Ajustement : Une variable, testée par rapport à des proportions attendues spécifiées.

Indépendance : Deux variables, testant si elles sont liées.

Les deux utilisent le khi-deux, mais répondent à des questions différentes.

Les hypothèses

H₀ : Les fréquences observées correspondent aux proportions attendues.

H₁ : Les fréquences observées ne correspondent pas aux proportions attendues.

Il s'agit toujours d'un test bilatéral—tout écart par rapport aux effectifs attendus va à l'encontre de H₀.

Calcul du test

Étape 1 : Énoncer les proportions attendues

Pour un dé équilibré : 1/6 pour chaque face (égale).

Pour correspondre à la population : proportions issues du recensement ou de données de référence.

Étape 2 : Calculer les fréquences attendues

E = n × proportion attendue

Pour 120 lancers de dé attendant une distribution égale : E = 120 × (1/6) = 20 pour chaque face.

Étape 3 : Calculer le khi-deux

χ² = Σ[(O - E)² / E]

Étape 4 : Trouver les degrés de liberté

ddl = k - 1

Où k = nombre de catégories.

Pour le dé : ddl = 6 - 1 = 5

Si des paramètres ont été estimés à partir des données, soustraire les ddl supplémentaires.

Étape 5 : Calculer la valeur p

Comparer χ² = 3,80 à la distribution du khi-deux avec ddl = 5.

p = 0,58

Conclusion : Aucune preuve que le dé soit biaisé (p > 0,05). Les fréquences observées sont cohérentes avec l'hypothèse de dé équilibré.

Applications

Test du caractère aléatoire

Les résultats sont-ils distribués uniformément ?

• Numéros de loterie
• Générateurs de nombres aléatoires
• Jeux de cartes mélangés

Test de distributions théoriques

La génétique suit-elle les ratios mendéliens ?

• Ratios attendus de 3:1 ou 9:3:3:1
• Comparer l'observé au théorique

Comparaison à une population connue

L'échantillon correspond-il aux proportions de la population ?

• Données démographiques (âge, sexe, origine)
• Segments de marché
• Distributions géographiques

Distributions de réponses aux sondages

Les réponses suivent-elles les modèles attendus ?

• Distributions d'échelles de Likert
• Distributions de choix multiples

Contrôle qualité

Les types de défauts se produisent-ils dans les proportions attendues ? Les produits tombent-ils dans les catégories de qualité attendues ?

Spécification des proportions attendues

Distribution égale (uniforme)

Toutes les catégories également probables.

Dé : 1/6 chacun Jours de la semaine : 1/7 chacun

Proportions théoriques

Basées sur la théorie ou des connaissances préalables.

Génétique mendélienne : ratio 3:1 → 0,75 et 0,25

Proportions historiques/de population

Basées sur des données antérieures ou une population de référence.

Données démographiques nationales appliquées à un échantillon local.

Estimées à partir des données

Paramètres estimés à partir de l'échantillon, puis testés.

Attention : L'estimation de paramètres utilise des degrés de liberté.

Lorsque des paramètres sont estimés

Si vous estimez k paramètres à partir des données :

ddl = catégories - 1 - k

Exemple : Ajustement d'une distribution de Poisson

• Estimer λ à partir de la moyenne échantillonnale (1 paramètre)
• ddl = catégories - 1 - 1 = catégories - 2

Cela pénalise pour avoir « jeté un œil » aux données pour fixer les attentes.

Hypothèses

Indépendance

Les observations sont indépendantes—un résultat n'affecte pas un autre.

Fréquences attendues

Règle traditionnelle : Tous les E ≥ 5

Recommandations modernes :

• Aucun E < 1
• Pas plus de 20 % des catégories avec E < 5

Si violé : Regrouper les catégories ou utiliser un test exact.

Échantillonnage aléatoire

Les données représentent un échantillon aléatoire de la population d'intérêt.

Interprétation des résultats

Résultat significatif (p < α)

La distribution observée diffère de celle attendue. Le modèle ne s'ajuste pas.

Examiner (O-E)/E pour chaque catégorie pour voir lesquelles s'écartent le plus.

Résultat non significatif (p ≥ α)

Les données sont cohérentes avec la distribution attendue. On ne peut pas conclure que le modèle est incorrect.

Attention : Cela ne prouve pas que le modèle est correct—juste que les données ne le contredisent pas.

Taille d'effet

La valeur du khi-deux seule n'indique pas la taille d'effet (dépend de n).

Options pour la taille d'effet :

Résidu quadratique moyen : √[Σ(O-E)²/E / n]

V de Cramér (pour comparaison avec une base de référence) : V = √[χ² / (n(k-1))]

Erreurs courantes

Confondre avec le test d'indépendance

L'ajustement teste une variable par rapport aux attentes. L'indépendance teste la relation entre deux variables.

Ne pas spécifier les attentes à l'avance

Les attentes devraient être énoncées avant de voir les données. Les attentes post-hoc gonflent l'erreur de type I.

Ignorer le regroupement de catégories

Lorsque les fréquences attendues sont trop faibles, regrouper les catégories logiquement.

Tester des paramètres estimés sans ajustement des ddl

Si vous avez estimé des paramètres à partir des données, réduire les ddl en conséquence.

Regroupement de catégories

Lorsque certaines fréquences attendues sont trop faibles :

Avant :

Les catégories D et E ont E < 5.

Après regroupement de D et E :

Maintenant tous les E ≥ 5.

Exemple : Test des ratios mendéliens

Expérience : Croiser des plants de pois, attendre un ratio 3:1 de jaune à vert.

Données : 315 jaunes, 108 verts (total 423)

Attendu :

• Jaune : 423 × 0,75 = 317,25
• Vert : 423 × 0,25 = 105,75

Khi-deux : χ² = (315-317,25)²/317,25 + (108-105,75)²/105,75 χ² = 0,016 + 0,048 = 0,064

Valeur p : Pour ddl = 1, p = 0,80

Conclusion : Les données sont cohérentes avec le ratio mendélien 3:1.

Relation avec d'autres tests

Test binomial

Pour deux catégories, le test binomial est plus précis pour les petits échantillons.

Le khi-deux approxime le binomial pour les grands n.

Kolmogorov-Smirnov

Teste l'ajustement aux distributions continues.

Le khi-deux nécessite des données catégorielles/en classes.

Ratio de vraisemblance (test G)

Alternative au khi-deux avec des propriétés similaires.

G = 2Σ[O × ln(O/E)]

Certains le préfèrent pour des raisons théoriques.

Présentation des résultats

Format APA :

« Un test d'ajustement du khi-deux a indiqué que la distribution observée des résultats du dé ne différait pas significativement d'une distribution uniforme, χ²(5) = 3,80, p = ,58. »

Pour des résultats significatifs :

« Un test d'ajustement du khi-deux a révélé que la distribution d'âge des clients différait significativement des données démographiques nationales, χ²(4) = 23,5, p < ,001. Les clients âgés de 25-34 ans étaient surreprésentés (observé 35 %, attendu 22 %). »

Contexte historique

Karl Pearson a introduit le test d'ajustement du khi-deux en 1900.

Son application originale testait si les données observées s'ajustaient aux distributions de probabilité théoriques—d'où « ajustement ».

Le test est devenu fondamental en génétique pour tester l'héritage mendélien, en physique pour tester les prédictions théoriques et dans toutes les sciences pour tester toute distribution catégorielle.

Calculs connexes

• Test d'indépendance du khi-deux — Deux variables
• Test binomial — Deux catégories exact
• Distribution du khi-deux — Valeurs p
• Calculateur de probabilité normale — Distributions continues

Résumé

Le test d'ajustement du khi-deux compare les fréquences de catégories observées aux fréquences attendues spécifiées par un modèle théorique ou des connaissances préalables. Calculer les fréquences attendues comme n × proportion, calculer χ² = Σ(O-E)²/E, et comparer à la distribution du khi-deux avec ddl = k-1 (moins tout paramètre estimé). Les hypothèses nécessitent des fréquences attendues adéquates dans toutes les catégories. Un résultat significatif indique que les données ne correspondent pas à la distribution attendue ; examiner les résidus pour identifier quelles catégories s'écartent. Toujours spécifier les proportions attendues avant d'analyser les données.