Durbin-Watson-Tabelle

Kritische Werte für Autokorrelationstest.

Signifikanzniveau

k suchen (Prädiktoren)

n suchen (Stichprobe)

Interpretation: Vergleichen Sie Ihre Durbin-Watson-Statistik (d) mit den kritischen Werten dL (unterer) und dU (oberer).

• Wenn d < dL: Positive Autokorrelation vorhanden
• Wenn d > dU: Keine positive Autokorrelation erkannt
• Wenn dL ≤ d ≤ dU: Test nicht eindeutig
• Für negative Autokorrelation: (4-d) statt d verwenden

n	k = 1		k = 2		k = 3		k = 4		k = 5
n	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU
15	1.08	1.36	0.95	1.54	0.82	1.75	0.69	1.97	0.56	2.21
16	1.10	1.37	0.98	1.54	0.86	1.73	0.74	1.93	0.62	2.15
17	1.13	1.38	1.02	1.54	0.90	1.71	0.78	1.90	0.67	2.10
18	1.16	1.39	1.05	1.53	0.93	1.69	0.82	1.87	0.71	2.06
19	1.18	1.40	1.08	1.53	0.97	1.68	0.86	1.85	0.75	2.02
20	1.20	1.41	1.10	1.54	1.00	1.68	0.90	1.83	0.79	1.99
21	1.22	1.42	1.13	1.54	1.03	1.67	0.93	1.81	0.83	1.96
22	1.24	1.43	1.15	1.54	1.05	1.66	0.96	1.80	0.86	1.94
23	1.26	1.44	1.17	1.54	1.08	1.66	0.99	1.79	0.90	1.92
24	1.27	1.45	1.19	1.55	1.10	1.66	1.01	1.78	0.93	1.90
25	1.29	1.45	1.21	1.55	1.12	1.66	1.04	1.77	0.95	1.89
30	1.35	1.49	1.28	1.57	1.21	1.65	1.14	1.74	1.07	1.83
35	1.40	1.52	1.34	1.58	1.28	1.65	1.22	1.73	1.16	1.80
40	1.44	1.54	1.39	1.60	1.34	1.66	1.29	1.72	1.23	1.79
45	1.48	1.57	1.43	1.62	1.38	1.67	1.34	1.72	1.29	1.78
50	1.50	1.59	1.46	1.63	1.42	1.67	1.38	1.72	1.34	1.77
55	1.53	1.60	1.49	1.64	1.45	1.68	1.41	1.72	1.37	1.77
60	1.55	1.62	1.51	1.65	1.48	1.69	1.44	1.73	1.41	1.77
65	1.57	1.63	1.54	1.66	1.50	1.70	1.47	1.73	1.44	1.77
70	1.58	1.64	1.55	1.67	1.52	1.70	1.49	1.74	1.46	1.77
75	1.60	1.65	1.57	1.68	1.54	1.71	1.51	1.74	1.49	1.77
80	1.61	1.66	1.59	1.69	1.56	1.72	1.53	1.74	1.51	1.77
85	1.62	1.67	1.60	1.70	1.57	1.72	1.55	1.75	1.52	1.77
90	1.63	1.68	1.61	1.70	1.59	1.73	1.57	1.75	1.54	1.78
95	1.64	1.69	1.62	1.71	1.60	1.73	1.58	1.75	1.56	1.78
100	1.65	1.69	1.63	1.72	1.61	1.74	1.59	1.76	1.57	1.78
150	1.72	1.75	1.71	1.76	1.69	1.77	1.68	1.79	1.67	1.80
200	1.76	1.78	1.75	1.79	1.74	1.80	1.73	1.81	1.72	1.82

Entscheidungsregeln

d < dLPositive Autokorrelation

dL ≤ d ≤ dUNicht eindeutig

d > dUKeine pos. Autok.

Schnellreferenz

• DW-Statistik reicht von 0 bis 4
• d ≈ 2 deutet auf keine Autokorrelation hin
• d < 2 deutet auf positive Autokorrelation hin
• d > 2 deutet auf negative Autokorrelation hin
• k = Anzahl der Regressoren (ohne Intercept)

Durbin-Watson-Statistik

d = \frac{\sum_{t=2}^{n}(e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n}e_t^2}

Was ist eine Durbin-Watson-Tabelle?

Die Durbin-Watson-Tabelle liefert kritische Werte zur Erkennung von Autokorrelation in Regressionsresiduen. Autokorrelation tritt auf, wenn Residuen zu einem Zeitpunkt mit Residuen zu benachbarten Zeitpunkten korreliert sind – ein häufiges Problem bei Zeitreihendaten.

Die Durbin-Watson-Statistik lautet:

$d = \frac{\sum_{t=2}^{n}(e_t - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{n}e_t^2}$

wobei e_t das Residuum zum Zeitpunkt t darstellt.

Verständnis der DW-Statistik

Die Statistik liegt zwischen 0 und 4:

d-Wert	Interpretation
d ≈ 0	Starke positive Autokorrelation
d ≈ 2	Keine Autokorrelation
d ≈ 4	Starke negative Autokorrelation

Der Unbestimmtheitsbereich

Im Gegensatz zu den meisten statistischen Tests hat der Durbin-Watson-Test eine unbestimmte Zone. Die Tabelle liefert zwei Grenzen:

dL (untere Grenze)
dU (obere Grenze)

Entscheidungsregeln für positive Autokorrelation

Bedingung	Entscheidung
d < dL	Positive Autokorrelation vorhanden
d > dU	Keine positive Autokorrelation
dL ≤ d ≤ dU	Test ist unbestimmt

Testen auf negative Autokorrelation

Verwenden Sie (4 - d) anstelle von d und wenden Sie dann dieselben Regeln an.

So lesen Sie die Tabelle

Bestimmen Sie n (Stichprobengröße)
Bestimmen Sie k (Anzahl der Regressoren, ohne Achsenabschnitt)
Wählen Sie Ihr α-Niveau
Finden Sie dL und dU am Schnittpunkt

Beispiel: Regression mit 2 Prädiktoren und 50 Beobachtungen bei α = 0,05:

k = 2, n = 50
dL = 1,46, dU = 1,63
Wenn d = 1,35 < 1,46: Positive Autokorrelation erkannt
Wenn d = 1,72 > 1,63: Keine positive Autokorrelation

Warum Autokorrelation wichtig ist

Wenn Residuen autokorreliert sind:

Standardfehler sind verzerrt (meist unterschätzt)
t-Tests und F-Tests sind unzuverlässig
Konfidenzintervalle sind zu eng
R² kann aufgebläht sein

Die Regressionskoeffizienten selbst bleiben unverzerrt, aber statistische Schlussfolgerungen werden ungültig.

Häufige Ursachen für Autokorrelation

Ausgelassene Variablen: Ein fehlender Prädiktor, der sich über die Zeit verändert
Falsche funktionale Form: Lineares Modell für eine nichtlineare Beziehung
Messfehler: Systematische Verzerrung bei der Datenerhebung
Echte serielle Korrelation: Genuine Persistenz im Fehlerprozess

Abhilfen bei Autokorrelation

Wenn der Durbin-Watson-Test Autokorrelation erkennt:

Ausgelassene Variablen hinzufügen, die zeitliche Muster erfassen
Verzögerte abhängige Variablen einbeziehen
Zeitreihenmodelle verwenden (ARIMA usw.)
Differenzierung anwenden auf die Daten
Verallgemeinerte kleinste Quadrate verwenden (GLS)
Robuste Standardfehler berechnen (Newey-West)

Einschränkungen

Der Durbin-Watson-Test:

Erkennt nur Autokorrelation erster Ordnung (Lag 1)
Erfordert, dass die Regressoren nicht-stochastisch sind
Kann bei kleinen Stichproben geringe Trennschärfe haben
Hat einen Unbestimmtheitsbereich, der mit mehr Regressoren wächst

Für Autokorrelation höherer Ordnung sollten Sie den Breusch-Godfrey-Test in Betracht ziehen.

Schnellreferenzwerte

Bei α = 0,05 mit k = 1 Regressor:

n	dL	dU
20	1,20	1,41
30	1,35	1,49
50	1,50	1,59
100	1,65	1,69

Zusammenfassung

Die Durbin-Watson-Tabelle ist unerlässlich für die Validierung von Regressionsannahmen im Zeitreihenkontext. Durch den Vergleich Ihrer berechneten d-Statistik mit den tabellierten dL- und dU-Grenzen können Sie beurteilen, ob Autokorrelation die Gültigkeit Ihrer Regressionsergebnisse gefährdet. Beachten Sie, dass ein Ergebnis im Unbestimmtheitsbereich bei kleineren Stichproben häufig vorkommt – in solchen Fällen kann das Sammeln von mehr Daten oder die Verwendung alternativer Tests helfen, eine eindeutige Antwort zu liefern.