Z-Tabelle (Standardnormalverteilung)

Tabelle der Standardnormalverteilung.

Tabellenbereich

Z-Wert finden

So lesen Sie die Tabelle: Finden Sie die Zeile für die erste Dezimalstelle und die Spalte für die zweite. Die Zelle zeigt P(Z ≤ z). Klicken Sie auf eine Zelle, um die Wahrscheinlichkeit zu kopieren.

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5056	0.5112	0.5167	0.5222	0.5276	0.5330	0.5383	0.5436	0.5488
0.1	0.5540	0.5592	0.5643	0.5693	0.5743	0.5793	0.5842	0.5891	0.5939	0.5987
0.2	0.6035	0.6082	0.6129	0.6175	0.6221	0.6267	0.6312	0.6357	0.6401	0.6445
0.3	0.6489	0.6532	0.6575	0.6617	0.6659	0.6701	0.6742	0.6783	0.6824	0.6864
0.4	0.6904	0.6943	0.6983	0.7021	0.7060	0.7098	0.7136	0.7173	0.7210	0.7247
0.5	0.7283	0.7319	0.7355	0.7390	0.7425	0.7460	0.7494	0.7528	0.7562	0.7596
0.6	0.7629	0.7661	0.7694	0.7726	0.7758	0.7789	0.7820	0.7851	0.7882	0.7912
0.7	0.7942	0.7971	0.8001	0.8030	0.8058	0.8087	0.8115	0.8143	0.8170	0.8197
0.8	0.8224	0.8251	0.8277	0.8303	0.8329	0.8354	0.8380	0.8404	0.8429	0.8453
0.9	0.8478	0.8501	0.8525	0.8548	0.8571	0.8594	0.8616	0.8638	0.8660	0.8682
1.0	0.8703	0.8724	0.8745	0.8766	0.8786	0.8806	0.8826	0.8846	0.8865	0.8884
1.1	0.8903	0.8922	0.8940	0.8958	0.8976	0.8994	0.9011	0.9028	0.9045	0.9062
1.2	0.9079	0.9095	0.9111	0.9127	0.9143	0.9158	0.9173	0.9188	0.9203	0.9218
1.3	0.9232	0.9246	0.9260	0.9274	0.9287	0.9301	0.9314	0.9327	0.9339	0.9352
1.4	0.9364	0.9377	0.9389	0.9400	0.9412	0.9423	0.9435	0.9446	0.9457	0.9467
1.5	0.9478	0.9488	0.9499	0.9509	0.9519	0.9528	0.9538	0.9547	0.9557	0.9566
1.6	0.9575	0.9583	0.9592	0.9601	0.9609	0.9617	0.9625	0.9633	0.9641	0.9649
1.7	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9685	0.9692	0.9699	0.9705	0.9712	0.9718
1.8	0.9724	0.9731	0.9737	0.9742	0.9748	0.9754	0.9760	0.9765	0.9770	0.9776
1.9	0.9781	0.9786	0.9791	0.9796	0.9800	0.9805	0.9810	0.9814	0.9819	0.9823
2.0	0.9827	0.9831	0.9835	0.9839	0.9843	0.9847	0.9851	0.9854	0.9858	0.9861
2.1	0.9865	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890	0.9893
2.2	0.9895	0.9898	0.9901	0.9903	0.9906	0.9908	0.9910	0.9913	0.9915	0.9917
2.3	0.9919	0.9922	0.9924	0.9926	0.9928	0.9930	0.9932	0.9933	0.9935	0.9937
2.4	0.9939	0.9940	0.9942	0.9944	0.9945	0.9947	0.9948	0.9950	0.9951	0.9952
2.5	0.9954	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.6	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9973
2.7	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9980
2.8	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986
2.9	0.9986	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990
3.0	0.9990	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993
3.1	0.9993	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995
3.2	0.9995	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996
3.3	0.9996	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997
3.4	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998
3.5	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.6	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.7	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.8	0.9999	0.9999	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000
3.9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

Häufige kritische Werte

90% (einseitig)z = ±1.645

95% (Zweiseitig (p-Wert))z = ±1.96

99% (einseitig)z = ±2.326

99% (Zweiseitig (p-Wert))z = ±2.576

Wahrscheinlichkeits-Referenzpunkte

z = 0 (Mittelwert)P = 0.5000

z = 1 (+1σ)P = 0.8413

z = 2 (+2σ)P = 0.9772

z = 3 (+3σ)P = 0.9987

Standard-Normal-CDF

\Phi(z) = P(Z \leq z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{z} e^{-t^2/2} \, dt

Was ist eine Z-Tabelle?

Eine Z-Tabelle (auch Standardnormalverteilungstabelle oder Einheitsnormalverteilungstabelle genannt) zeigt die kumulativen Wahrscheinlichkeiten für die Standardnormalverteilung an. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable Z kleiner oder gleich einem gegebenen Wert z ist, geschrieben als P(Z ≤ z) oder Φ(z).

Die Standardnormalverteilung hat den Mittelwert μ = 0 und die Standardabweichung σ = 1. Jede Normalverteilung kann mithilfe der Z-Wert-Transformation in eine Standardnormalverteilung umgewandelt werden:

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

So lesen Sie die Z-Tabelle

Die Tabelle ist folgendermaßen aufgebaut:

Zeilen: Die erste Dezimalstelle von z (z. B. 1,9)
Spalten: Die zweite Dezimalstelle (0,00 bis 0,09)

Um P(Z ≤ 1,96) zu finden:

Suchen Sie die Zeile 1,9
Suchen Sie die Spalte 0,06
Der Schnittpunkt ergibt 0,9750

Das bedeutet, dass 97,5 % der Standardnormalverteilung unterhalb von z = 1,96 liegen.

Arten von Z-Tabellen

Verschiedene Lehrbücher stellen Z-Tabellen in unterschiedlichen Formaten dar:

Kumulativ von links (diese Tabelle)

Zeigt P(Z ≤ z) — die Fläche von minus unendlich bis z. Dies ist das gebräuchlichste Format und das, was diese Tabelle bietet.

Kumulativ von der Mitte

Zeigt P(0 ≤ Z ≤ z) — die Fläche zwischen dem Mittelwert (0) und z. Zur Umrechnung: Subtrahieren Sie 0,5 von unseren Tabellenwerten für positive z.

Rechter Randbereich

Zeigt P(Z > z) — die Fläche rechts von z. Zur Umrechnung: Berechnen Sie 1 - P(Z ≤ z).

Häufige Anwendungen

Hypothesentests

Kritische Werte für Hypothesentests ergeben sich direkt aus der Z-Tabelle:

α = 0,05 (einseitig): z = 1,645 (suchen Sie 0,9500)
α = 0,05 (zweiseitig): z = ±1,96 (suchen Sie 0,9750)
α = 0,01 (zweiseitig): z = ±2,576 (suchen Sie 0,9950)

Konfidenzintervalle

Für ein 95%-Konfidenzintervall benötigen Sie z* = 1,96, da P(-1,96 < Z < 1,96) = 0,95.

Perzentile ermitteln

Um das 90. Perzentil einer Normalverteilung zu finden:

Suchen Sie 0,9000 in der Tabelle
Finden Sie z ≈ 1,28
Rechnen Sie zurück: x = μ + 1,28σ

Qualitätskontrolle

Bei der Analyse der Prozessfähigkeit bestimmen Z-Werte die Fehlerquoten. Ein „Six Sigma"-Prozess hat z = 6, was bedeutet, dass praktisch alle Ergebnisse innerhalb der Spezifikationen liegen.

Arbeiten mit negativen Z-Werten

Für negative Z-Werte nutzen Sie die Symmetrie der Normalverteilung:

$P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z) = P(Z > z)$

Zum Beispiel:

P(Z ≤ -1,96) = 1 - P(Z ≤ 1,96) = 1 - 0,9750 = 0,0250

Die 68-95-99,7-Regel

Die Z-Tabelle bestätigt die empirische Regel:

P(-1 < Z < 1) ≈ 0,68 (68 % innerhalb von 1σ)
P(-2 < Z < 2) ≈ 0,95 (95 % innerhalb von 2σ)
P(-3 < Z < 3) ≈ 0,997 (99,7 % innerhalb von 3σ)

Interpolation

Für Z-Werte mit mehr als zwei Dezimalstellen (z. B. z = 1,645):

Finden Sie die Werte für z = 1,64 (0,9495) und z = 1,65 (0,9505)
Interpolieren Sie: 0,9495 + 0,5 × (0,9505 - 0,9495) = 0,9500

Für präzise Berechnungen verwenden Sie den Normalverteilungs-Wahrscheinlichkeitsrechner oder den Z-Tabellen-Rechner.

Historischer Hinweis

Vor der Computerzeit waren Statistiker vollständig auf gedruckte Tabellen angewiesen. Die ersten umfassenden Normalverteilungstabellen wurden 1914 von Karl Pearson veröffentlicht. Studierende lernten wichtige Werte auswendig und interpolierten für andere.

Heute berechnet Software exakte Wahrscheinlichkeiten sofort, aber Z-Tabellen bleiben wertvoll für:

Das Erlernen statistischer Konzepte
Schnelle Nachschlagemöglichkeiten
Prüfungssituationen, in denen Taschenrechner nicht erlaubt sind
Die Überprüfung von Berechnungsergebnissen

Zusammenfassung

Die Z-Tabelle ist ein grundlegendes Nachschlagewerk in der Statistik und liefert kumulative Wahrscheinlichkeiten für die Standardnormalverteilung. Obwohl moderne Software diese Werte präzise berechnen kann, fördert das Verständnis, wie man eine Z-Tabelle liest und verwendet, das statistische Verständnis und bleibt für Studierende und Praktiker unverzichtbar. Die Tabelle verbindet Z-Werte mit Wahrscheinlichkeiten und ermöglicht Hypothesentests, die Konstruktion von Konfidenzintervallen und Wahrscheinlichkeitsberechnungen für jede Normalverteilung.