Studentisierte-Spannweite-q-Tabelle

Kritische Werte für Tukey-HSD-Test.

Signifikanzniveau

k finden (Gruppen)

df finden (Fehler)

Anleitung: Den q-Wert am Schnittpunkt von k (Gruppen) und df (Fehler-Freiheitsgrade) finden. Klicken Sie auf eine Zelle zum Kopieren.

df \ k	2	3	4	5	6	7	8	9	10
5	3.64	4.60	5.22	5.67	6.03	6.33	6.58	6.80	6.99
6	3.46	4.34	4.90	5.30	5.63	5.90	6.12	6.32	6.49
7	3.34	4.16	4.68	5.06	5.36	5.61	5.82	6.00	6.16
8	3.26	4.04	4.53	4.89	5.17	5.40	5.60	5.77	5.92
9	3.20	3.95	4.41	4.76	5.02	5.24	5.43	5.59	5.74
10	3.15	3.88	4.33	4.65	4.91	5.12	5.30	5.46	5.60
11	3.11	3.82	4.26	4.57	4.82	5.03	5.20	5.35	5.49
12	3.08	3.77	4.20	4.51	4.75	4.95	5.12	5.27	5.39
13	3.06	3.73	4.15	4.45	4.69	4.88	5.05	5.19	5.32
14	3.03	3.70	4.11	4.41	4.64	4.83	4.99	5.13	5.25
15	3.01	3.67	4.08	4.37	4.59	4.78	4.94	5.08	5.20
16	3.00	3.65	4.05	4.33	4.56	4.74	4.90	5.03	5.15
17	2.98	3.63	4.02	4.30	4.52	4.70	4.86	4.99	5.11
18	2.97	3.61	4.00	4.28	4.49	4.67	4.82	4.96	5.07
19	2.96	3.59	3.98	4.25	4.47	4.65	4.79	4.92	5.04
20	2.95	3.58	3.96	4.23	4.45	4.62	4.77	4.90	5.01
24	2.92	3.53	3.90	4.17	4.37	4.54	4.68	4.81	4.92
30	2.89	3.49	3.85	4.10	4.30	4.46	4.60	4.72	4.82
40	2.86	3.44	3.79	4.04	4.23	4.39	4.52	4.63	4.73
60	2.83	3.40	3.74	3.98	4.16	4.31	4.44	4.55	4.65
120	2.80	3.36	3.68	3.92	4.10	4.24	4.36	4.47	4.56
∞	2.77	3.31	3.63	3.86	4.03	4.17	4.29	4.39	4.47

Tukey-HSD-Formel

HSD = q × √(MSE / n)

wobei:

• q = kritischer Wert aus dieser Tabelle
• MSE = mittlerer quadratischer Fehler aus ANOVA
• n = Stichprobengröße pro Gruppe

Paare mit |Mittelwertdiff| > HSD sind signifikant unterschiedlich

Beispiel

Gegeben: k=4 Gruppen, df=20, α=0,05

Zeile df=20, Spalte k=4 nachschlagen

q = 3,96

HSD = 3,96 × √(MSE/n)

Studentisierte Spannweitenverteilung

q = \frac{\max(\bar{X}_i) - \min(\bar{X}_i)}{\sqrt{MSE/n}}

Was ist eine Studentisierte Spannweiten-Tabelle (q-Tabelle)?

Die studentisierte Spannweiten-Tabelle (q-Tabelle) liefert kritische Werte für Tukeys Honest Significant Difference (HSD) Test. Nachdem eine ANOVA signifikante Unterschiede zwischen Gruppen aufgezeigt hat, identifiziert Tukeys HSD, welche spezifischen Mittelwertpaare sich signifikant unterscheiden.

Die studentisierte Spannweitenstatistik lautet:

$q = \frac{\max(\bar{X}_i) - \min(\bar{X}_i)}{\sqrt{MS_E/n}}$

Wann diese Tabelle verwendet wird

Verwenden Sie die q-Tabelle nach:

Durchführung einer ANOVA mit signifikanter F-Statistik
Dem Wunsch, alle paarweisen Vergleiche zwischen Gruppenmittelwerten durchzuführen
Der Notwendigkeit, die familienweise Fehlerrate zu kontrollieren

Tukeys HSD ist geeignet, wenn:

Alle Gruppen gleiche (oder nahezu gleiche) Stichprobengrößen haben
Sie jede Gruppe mit jeder anderen Gruppe vergleichen möchten

Wie man die Tabelle liest

Bestimmen Sie k (Anzahl der verglichenen Gruppen)
Berechnen Sie df (Fehler-Freiheitsgrade aus der ANOVA = N - k)
Wählen Sie Ihr α-Niveau (typischerweise 0,05 oder 0,01)
Finden Sie q am Schnittpunkt

Beispiel: Vergleich von 4 Behandlungsgruppen mit insgesamt 36 Beobachtungen:

k = 4
df = 36 - 4 = 32 ≈ 30 (nächsten Wert verwenden)
Bei α = 0,05 ist q ≈ 3,85

Berechnung von Tukeys HSD

Die Honest Significant Difference berechnet sich wie folgt:

$HSD = q \times \sqrt{\frac{MS_E}{n}}$

Wobei:

q = studentisierter Spannweitenwert aus der Tabelle
MS_E = mittlerer quadratischer Fehler aus der ANOVA
n = Stichprobengröße pro Gruppe

Entscheidung: Wenn |Mittelwert₁ - Mittelwert₂| ≥ HSD, sind die Mittelwerte signifikant unterschiedlich.

Durchgerechnetes Beispiel

Szenario: Drei Unterrichtsmethoden wurden an 30 Schülern getestet (10 pro Gruppe)

ANOVA zeigt signifikante Unterschiede (F = 4,82; p < 0,05)
MS_E = 25
Mittelwerte: Methode A = 75, Methode B = 82, Methode C = 78

Berechnung:

k = 3, df = 30 - 3 = 27
Aus der Tabelle (α = 0,05): q ≈ 3,51
HSD = 3,51 × √(25/10) = 3,51 × 1,58 = 5,55

Vergleiche:

|A - B| = |75 - 82| = 7 > 5,55 ✓ Signifikant
|A - C| = |75 - 78| = 3 < 5,55 ✗ Nicht signifikant
|B - C| = |82 - 78| = 4 < 5,55 ✗ Nicht signifikant

Ungleiche Stichprobengrößen: Tukey-Kramer

Bei unterschiedlichen Gruppengrößen verwenden Sie die Tukey-Kramer-Modifikation:

$HSD_{ij} = q \times \sqrt{\frac{MS_E}{2}\left(\frac{1}{n_i} + \frac{1}{n_j}\right)}$

Dies ergibt einen unterschiedlichen HSD-Wert für jedes Gruppenpaar.

Vergleich mit anderen Post-Hoc-Tests

Test	Am besten geeignet wenn
Tukeys HSD	Alle paarweisen Vergleiche, gleiche n
Bonferroni	Weniger Vergleiche, ungleiche n
Scheffé	Komplexe Kontraste über Paare hinaus
Dunnetts	Vergleich mit einer einzelnen Kontrollgruppe

Warum "studentisiert"?

Der Begriff "studentisiert" bezieht sich auf die Division durch eine Schätzung der Standardabweichung (wie bei der t-Verteilung, benannt nach "Student"). Die Spannweite wird unter Verwendung der gepoolten Variabilität innerhalb der Gruppen standardisiert.

Wichtige Eigenschaften

Kontrolliert die familienweise Fehlerrate vom Typ I auf α
Leistungsfähiger als Bonferroni bei allen paarweisen Vergleichen
Konservativ (kann einige wahre Unterschiede übersehen)
Setzt Normalverteilung und Varianzhomogenität voraus

Zusammenfassung

Die studentisierte Spannweiten-Tabelle (q-Tabelle) ist unverzichtbar für Post-Hoc-Analysen nach einer ANOVA. Sie liefert kritische Werte, mit denen Sie Tukeys HSD berechnen können – die minimale Differenz zwischen Mittelwerten, die für statistische Signifikanz erforderlich ist. Durch die Kontrolle der familienweisen Fehlerrate hält Tukeys Test das Gesamt-α-Niveau über alle möglichen paarweisen Vergleiche hinweg aufrecht und ist damit die erste Wahl bei der Untersuchung, welche spezifischen Gruppen sich nach einem signifikanten Gesamteffekt unterscheiden.