Calculadora de distribución binomial (PMF)

¿Qué es la distribución binomial?

La distribución binomial modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito.

Parámetros:

• n = número de ensayos
• p = probabilidad de éxito en cada ensayo
• k = número de éxitos

La pregunta: ¿Cuál es P(X = k), la probabilidad de exactamente k éxitos?

La fórmula

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ es el coeficiente binomial.

Ejemplo: Lanza una moneda justa 10 veces. ¿Cuál es P(exactamente 6 caras)?

$P(X = 6) = \binom{10}{6} \times 0,5^6 \times 0,5^4 = 210 \times 0,0156 \times 0,0625 = 0,205$

Aproximadamente 20,5% de probabilidad de exactamente 6 caras.

¿Cuándo aplica la binomial?

La distribución binomial requiere:

1. Número fijo de ensayos (n)
2. Dos resultados por ensayo: Éxito o fracaso
3. Probabilidad constante (p): Igual para cada ensayo
4. Independencia: Los ensayos no se afectan entre sí

Ejemplos que encajan

• Lanzamientos de moneda (n lanzamientos, P(cara) = 0,5)
• Artículos defectuosos en una muestra (con reemplazo o población grande)
• Respuestas de encuestas (preguntas sí/no)
• Ensayos médicos (éxito/fracaso del tratamiento)
• Control de calidad (pruebas aprobadas/reprobadas)

Ejemplos que no encajan

• Extraer sin reemplazo de una población pequeña (usa hipergeométrica)
• Número de eventos en un intervalo de tiempo (usa Poisson)
• Probabilidades de éxito variables (usa modelos más complejos)

Aplicaciones

Control de calidad

"Un proceso tiene una tasa de defectos del 5%. En una muestra de 20, ¿cuál es la probabilidad de exactamente 2 defectuosos?"

P(X = 2) = C(20,2) × 0,05² × 0,95¹⁸ = 190 × 0,0025 × 0,397 = 0,189

Aproximadamente 19% de probabilidad.

Pruebas médicas

"Un medicamento tiene 80% de eficacia. Si 15 pacientes lo toman, ¿cuál es P(exactamente 12 responden)?"

P(X = 12) = C(15,12) × 0,8¹² × 0,2³ = 455 × 0,0687 × 0,008 = 0,250

Deportes

"Un jugador de baloncesto anota el 70% de los tiros libres. En 8 intentos, ¿cuál es P(exactamente 6 anotados)?"

P(X = 6) = C(8,6) × 0,7⁶ × 0,3² = 28 × 0,118 × 0,09 = 0,296

Genética

"Cada hijo tiene 25% de probabilidad de heredar un rasgo. Para 4 hijos, ¿cuál es P(exactamente 1 lo tiene)?"

P(X = 1) = C(4,1) × 0,25¹ × 0,75³ = 4 × 0,25 × 0,422 = 0,422

El coeficiente binomial

$\binom{n}{k}$ cuenta el número de formas de elegir k elementos de n:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Ejemplos:

• C(5,2) = 10 (formas de elegir 2 de 5)
• C(10,3) = 120
• C(n,0) = C(n,n) = 1
• C(n,1) = n

Por eso se llama "binomial"—estos coeficientes aparecen en la expansión binomial de (a+b)ⁿ.

Forma de la distribución

La forma depende de p:

• p = 0,5: Simétrica
• p < 0,5: Sesgada a la derecha (cola hacia k alto)
• p > 0,5: Sesgada a la izquierda (cola hacia k bajo)

A medida que n aumenta, la binomial se aproxima a la normal:

• Media = $np$
• Varianza = $np(1-p)$
• DE = $\sqrt{np(1-p)}$

Regla general: La aproximación normal es razonable cuando np ≥ 5 Y n(1-p) ≥ 5.

Valor esperado y varianza

Media (número esperado de éxitos):

$E(X) = np$

Varianza:

$Var(X) = np(1-p)$

Desviación estándar:

$DE(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Para 100 lanzamientos de moneda (n=100, p=0,5):

• Media = 50 caras
• DE = √(100 × 0,5 × 0,5) = 5 caras

Desarrollo histórico

La distribución binomial es una de las distribuciones de probabilidad más antiguas.

Blaise Pascal y Pierre de Fermat (1654) resolvieron problemas de juegos de azar que llevaron al pensamiento binomial.

Jacob Bernoulli (1713) publicó el primer tratamiento comprehensivo en "Ars Conjectandi", incluyendo lo que ahora llamamos ensayos de Bernoulli.

Abraham de Moivre (1733) descubrió la aproximación normal a la binomial—un resultado clave que llevó al Teorema del Límite Central.

Probabilidad acumulada

Para $P(X \leq k)$ o $P(X \geq k)$, usa la Calculadora binomial acumulada:

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$

Esto es a menudo más útil que las probabilidades exactas:

• "¿Cuál es P(a lo sumo 3 defectuosos)?"
• "¿Cuál es P(al menos 8 éxitos)?"

Relación con otras distribuciones

Bernoulli: Binomial con n = 1

Normal: La binomial se aproxima a la normal para n grande

Poisson: La binomial se aproxima a Poisson cuando n es grande y p es pequeño (np = λ)

Binomial negativa: Número de ensayos hasta k éxitos

Hipergeométrica: Binomial sin reemplazo de población finita

Cálculos relacionados

• Calculadora binomial acumulada — P(X ≤ k), P(X ≥ k)
• Calculadora de probabilidad de Poisson — Para eventos raros
• Calculadora de probabilidad normal — Aproximación continua
• Intervalo de confianza para proporción — Estimar p

Resumen

La distribución binomial da la probabilidad de exactamente k éxitos en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p. Desde control de calidad hasta investigación médica y genética, las probabilidades binomiales responden preguntas fundamentales sobre conteos de éxitos. La fórmula combina el coeficiente binomial (número de formas de arreglar k éxitos) con la probabilidad de cualquier arreglo específico. Para preguntas acumuladas (al menos k, a lo sumo k), usa la calculadora acumulada. Para n grande, la aproximación normal proporciona una alternativa conveniente.