Calculadora de distribución binomial (CDF)

Calcula P(X ≤ k) para ensayos binomiales.

Ingrese un número de ensayos válido (1-500)

Ejemplos

Ingrese n y p para generar la distribución

¿Qué es la probabilidad binomial acumulada?

Mientras que la Calculadora de probabilidad binomial encuentra P(X = k)—la probabilidad de exactamente k éxitos—las probabilidades acumuladas responden preguntas más amplias:

  • P(X ≤ k): A lo sumo k éxitos
  • P(X < k): Menos de k éxitos
  • P(X ≥ k): Al menos k éxitos
  • P(X > k): Más de k éxitos

Estas probabilidades acumuladas suman probabilidades binomiales individuales.

Las fórmulas

P(X ≤ k) = Σ P(X = i) para i = 0 hasta k

P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1) = Σ P(X = i) para i = k hasta n

P(X < k) = P(X ≤ k-1)

P(X > k) = 1 - P(X ≤ k)

Ejemplos

Control de calidad

"Un proceso tiene una tasa de defectos del 5%. En 50 artículos, ¿cuál es P(a lo sumo 3 defectuosos)?"

n = 50, p = 0,05, encontrar P(X ≤ 3)

P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,077 + 0,202 + 0,261 + 0,220 = 0,760

76% de probabilidad de 3 o menos defectuosos.

Ensayos clínicos

"El medicamento funciona el 80% de las veces. Si 20 pacientes lo toman, ¿cuál es P(al menos 15 responden)?"

n = 20, p = 0,80, encontrar P(X ≥ 15)

P(X ≥ 15) = 1 - P(X ≤ 14) = 0,804

Aproximadamente 80% de probabilidad de 15+ respuestas.

Análisis de encuestas

"El 30% apoya una política. En 100 encuestados, ¿cuál es P(menos de 25 partidarios)?"

n = 100, p = 0,30, encontrar P(X < 25) = P(X ≤ 24)

P(X ≤ 24) ≈ 0,142

Aproximadamente 14% de probabilidad.

Teoría de juegos

"La probabilidad de ganar es 40%. En 10 juegos, ¿cuál es P(más de 6 victorias)?"

n = 10, p = 0,40, encontrar P(X > 6) = 1 - P(X ≤ 6)

P(X > 6) = 1 - 0,945 = 0,055

Aproximadamente 5,5% de probabilidad de ganar 7 o más.

Aplicaciones

Prueba de hipótesis para proporciones

Prueba de una cola: "¿Es la tasa de éxito mayor que 50%?"

Observa k éxitos en n ensayos. Valor p = P(X ≥ k) bajo la hipótesis nula (p = 0,50)

Esta es una prueba binomial exacta.

Muestreo de aceptación

"Acepta un lote si a lo sumo 2 de 50 artículos probados son defectuosos."

P(aceptar lote bueno) = P(X ≤ 2 | p = 0,02) [riesgo del productor] P(aceptar lote malo) = P(X ≤ 2 | p = 0,10) [riesgo del consumidor]

Gráficos de control

"El proceso está fuera de control si > 3 de 20 puntos consecutivos están más allá de 2σ."

Bajo control: P(punto más allá de 2σ) ≈ 0,05 P(falsa alarma) = P(X > 3 | n=20, p=0,05)

Analítica deportiva

"El porcentaje de tiros libres de un jugador es 75%. ¿Cuál es la probabilidad de anotar menos de 15 de 25?"

P(X < 15 | n=25, p=0,75) ayuda a evaluar la probabilidad de bajo rendimiento.

Relación con probabilidades exactas

Las probabilidades acumuladas se construyen a partir de probabilidades exactas:

P(X ≤ 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)

Por el contrario, las probabilidades exactas vienen de diferencias acumuladas:

P(X = k) = P(X ≤ k) - P(X ≤ k-1)

Aproximación normal

Para n grande, la binomial se aproxima a la normal:

  • Media μ = np
  • DE σ = √(np(1-p))

Con corrección de continuidad:

P(X ≤ k) ≈ Φ((k + 0,5 - np) / √(np(1-p)))

El +0,5 ajusta por la conversión de discreto a continuo.

Cuándo usar: np ≥ 5 Y n(1-p) ≥ 5

La aproximación es más rápida para n muy grande donde el cálculo exacto es lento.

Intervalos de confianza y tamaño de muestra

Las probabilidades binomiales acumuladas subyacen:

  • Intervalos de confianza exactos de Clopper-Pearson para proporciones
  • Cálculos de tamaño de muestra para estimación de proporciones
  • Análisis de potencia para pruebas de proporciones

Calculando probabilidades acumuladas

Suma directa

Suma términos individuales P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = k)

Funciona bien para k pequeño.

Método del complemento

Para k grande: P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1)

Calcula la suma más pequeña y resta de 1.

Cálculo recursivo

P(X = k+1) = P(X = k) × (n-k)/(k+1) × p/(1-p)

Comienza con P(X = 0) = (1-p)ⁿ e itera.

Probabilidades de dos colas

Para eventos "extremos" en cualquier dirección:

P(|X - np| ≥ c) = P(X ≤ np - c) + P(X ≥ np + c)

Usado en pruebas de hipótesis de dos colas.

Relación con otras distribuciones

Aproximación de Poisson: Cuando n grande, p pequeño, np moderado: P(X = k) ≈ e^(-λ) × λ^k / k! donde λ = np

Distribución Beta: La binomial acumulada se relaciona con la función beta incompleta, usada en el cálculo de intervalos de confianza exactos.

Cálculos relacionados

Resumen

Las probabilidades binomiales acumuladas responden preguntas prácticas sobre "al menos", "a lo sumo", "menos de" o "más de" un número especificado de éxitos. Desde decisiones de aceptación en control de calidad hasta pruebas de hipótesis y evaluación de riesgos, estas probabilidades extienden el marco binomial básico a preguntas del mundo real. Para n grande, la aproximación normal con corrección de continuidad proporciona una alternativa computacionalmente eficiente.

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