Calculadora de correlación de Pearson

¿Qué es la correlación de Pearson?

El coeficiente de correlación de Pearson ($r$) mide la fuerza y dirección de la relación lineal entre dos variables continuas. Cuantifica qué tan de cerca los puntos de datos siguen una línea recta.

Pregunta respondida: "¿Qué tan fuertemente relacionadas linealmente están estas dos variables?"

Ejemplos:

• "¿Qué tan fuertemente se relaciona el tiempo de estudio con las calificaciones del examen?"
• "¿Hay una relación entre altura y peso?"
• "¿Se mueven juntos el gasto en publicidad y las ventas?"

El coeficiente de correlación

$r$ varía de -1 a +1:

Entendiendo la dirección

Correlación positiva ($r > 0$): Cuando X aumenta, Y tiende a aumentar. Ejemplo: Altura y peso

Correlación negativa ($r < 0$): Cuando X aumenta, Y tiende a disminuir. Ejemplo: Precio y demanda

Correlación cero ($r \approx 0$): Sin patrón lineal. Nota: ¡Las relaciones no lineales pueden tener $r \approx 0$!

La fórmula

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \times \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

O equivalentemente:

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \times S_{yy}}}$

Donde:

• $S_{xy}$ = suma de productos cruzados de desviaciones
• $S_{xx}$ = suma de desviaciones al cuadrado para X
• $S_{yy}$ = suma de desviaciones al cuadrado para Y

Ejemplo de cálculo

Datos: Horas de estudio (X) y calificaciones del examen (Y)

Cálculos:

• $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 74,4$
• $S_{xy} = 36$, $S_{xx} = 10$, $S_{yy} = 258,8$

$r = \frac{36}{\sqrt{10 \times 258,8}} = \frac{36}{50,87} = 0,708$

Correlación positiva fuerte: más horas de estudio se asocian con calificaciones más altas.

Coeficiente de determinación ($r^2$)

$r^2 = \text{proporción de varianza en Y explicada por X}$

Para $r = 0,708$: $r^2 = 0,50$

Interpretación: 50% de la variación en las calificaciones del examen es "explicada" por las horas de estudio.

El 50% restante se debe a otros factores.

Probando significancia

¿Es la correlación significativamente diferente de cero?

$t = r \times \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}$

Con $gl = n - 2$

Para $r = 0,708$, $n = 5$:

$t = 0,708 \times \sqrt{\frac{3}{0,50}} = 0,708 \times 2,45 = 1,73$

Valor p $\approx 0,18$ (no significativo a $\alpha = 0,05$)

Con solo 5 puntos, incluso una correlación moderada puede no ser significativa.

Usa la calculadora de valor p de correlación para valores precisos.

Tamaño de muestra y significancia

Correlaciones pequeñas se vuelven significativas con muestras grandes. Siempre reporta $r$ junto con el valor p.

Correlación ≠ Causalidad

Advertencia crítica: La correlación no implica causalidad.

Posibles explicaciones para la correlación:

1. X causa Y
2. Y causa X
3. Una tercera variable causa ambas
4. Coincidencia

Ejemplo: Las ventas de helado y las muertes por ahogamiento están correlacionadas. Realidad: El clima caliente causa ambas. El helado no causa ahogamiento.

Cuándo la correlación de Pearson falla

Relaciones no lineales

Una relación parabólica perfecta puede tener $r = 0$.

¡Siempre grafica tus datos primero!

Valores atípicos

Puntos extremos individuales pueden cambiar $r$ dramáticamente.

Los valores atípicos pueden inflar u ocultar la correlación verdadera.

Rango restringido

Si X tiene variabilidad limitada, la correlación se atenúa.

Estudiar solo estudiantes de honor puede ocultar la correlación completa entre tiempo de estudio y calificaciones.

Heterocedasticidad

Si la dispersión de Y cambia a través de valores de X, el r de Pearson puede ser engañoso.

Supuestos

Linealidad

La relación entre X e Y es lineal.

Verificar con diagrama de dispersión.

Variables continuas

Tanto X como Y se miden en escalas de intervalo o razón.

Para datos ordinales, usa la correlación de Spearman.

Normalidad bivariada

Para pruebas de significancia, la distribución conjunta debe ser aproximadamente normal.

Sin valores atípicos significativos

Los valores atípicos influyen desproporcionadamente en $r$.

Homocedasticidad

La varianza de Y es constante a través de los niveles de X.

Aplicaciones

Investigación y ciencia

Probar relaciones hipotetizadas entre variables.

"¿Hay evidencia de una relación entre exposición y resultado?"

Finanzas

Medir cómo se mueven juntos los activos.

La diversificación de cartera depende de correlaciones bajas o negativas.

Control de calidad

Relacionar parámetros del proceso con calidad del producto.

"¿Qué tan fuertemente afecta la temperatura la resistencia del producto?"

Psicología

Validar instrumentos de medición.

Fiabilidad test-retest, validez convergente.

Medicina

Relacionar biomarcadores con resultados.

"¿Qué tan bien predice este marcador la severidad de la enfermedad?"

Matriz de correlación

Para múltiples variables, calcula todas las correlaciones por pares:

La matriz es simétrica; la diagonal siempre es 1.

Correlación parcial

Controlar por una tercera variable:

$r_{xy.z}$ = correlación entre X e Y, manteniendo Z constante.

Revela si la relación X-Y persiste después de considerar Z.

Intervalo de confianza para r

Usa la transformación z de Fisher:

$z' = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right)$

$EE$ de $z' = 1/\sqrt{n-3}$

Calcula IC en espacio z, luego transforma de vuelta.

Comparando correlaciones

Para probar si dos correlaciones difieren:

Convierte ambas a $z'$ (transformación de Fisher)

$z = \frac{z'_1 - z'_2}{\sqrt{\frac{1}{n_1-3} + \frac{1}{n_2-3}}}$

Reportando resultados

Formato APA:

"Hubo una correlación positiva fuerte entre horas de estudio y calificaciones del examen, r(3) = ,71, p = ,18. Sin embargo, con solo 5 participantes, esta correlación no alcanzó significancia estadística."

Para resultados significativos:

"Las horas de sueño estuvieron significativamente correlacionadas con el tiempo de reacción, r(98) = -,45, p < ,001, indicando que menos sueño se asoció con respuestas más lentas."

Contexto histórico

Karl Pearson desarrolló este coeficiente de correlación en los años 1890, basándose en trabajo previo de Francis Galton.

Galton primero usó el concepto de correlación para estudiar herencia—cómo se relacionan las características de padres e hijos.

Pearson formalizó las matemáticas y nos dio la fórmula que todavía se usa hoy. Su trabajo estableció la correlación como una herramienta fundamental para entender relaciones entre variables.

Errores comunes

Confundir correlación con causalidad

El error más común. Siempre considera explicaciones alternativas.

Ignorar no linealidad

Un diagrama de dispersión revela patrones que $r$ no detecta.

Sobre-interpretar correlaciones pequeñas

Con n grande, r trivialmente pequeño puede ser "significativo."

Reportar $r^2$ como $r$

$r = 0,30$ no es lo mismo que $r^2 = 0,30$.

Cálculos relacionados

• Correlación de Spearman — Correlación basada en rangos
• Valor p de correlación — Prueba de significancia
• Calculadora de R cuadrado — Coeficiente de determinación
• Regresión lineal — Predecir Y a partir de X
• Interpretación de diagrama de dispersión — Análisis visual

Resumen

El coeficiente de correlación de Pearson ($r$) mide la relación lineal entre dos variables continuas, variando de -1 (negativa perfecta) a +1 (positiva perfecta). Calcula usando la fórmula que involucra productos cruzados de desviaciones, luego prueba significancia usando una prueba t con $gl = n-2$. Siempre visualiza los datos con un diagrama de dispersión primero—$r$ solo captura relaciones lineales. Reporta tanto $r$ como el valor p, reconoce que correlación no implica causalidad, y sé cauteloso con los valores atípicos. Para datos ordinales o relaciones monótonas no lineales, usa la correlación de Spearman en su lugar.