Calculadora de regresión lineal

¿Qué es la regresión lineal simple?

La regresión lineal simple modela la relación entre dos variables ajustando una línea recta a los datos. Te permite predecir Y (el resultado) a partir de X (el predictor).

Pregunta respondida: "¿Cuál es la línea de mejor ajuste, y qué tan bien predice X a Y?"

Ejemplos:

• "¿Cómo cambian las ventas con el gasto en publicidad?"
• "Predecir la puntuación del examen a partir de las horas de estudio."
• "¿Cuál es la relación entre temperatura y ventas de helado?"

La ecuación de regresión

$Y = a + bX$

O en notación alternativa:

$\hat{Y} = \beta_0 + \beta_1 X$

Donde:

• $a$ (o $\beta_0$) = intercepto Y (valor de Y cuando X = 0)
• $b$ (o $\beta_1$) = pendiente (cambio en Y por un aumento de una unidad en X)
• $\hat{Y}$ = valor Y predicho

Calculando los coeficientes

Pendiente:

$b = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

O: $b = S_{xy} / S_{xx} = r \times (s_y / s_x)$

Intercepto:

$a = \bar{y} - b \times \bar{x}$

La línea siempre pasa por el punto $(\bar{x}, \bar{y})$.

Ejemplo de cálculo

Datos: Gasto en publicidad (X, $1000s) y ventas (Y, unidades)

Estadísticos de resumen:

• x̄ = 6, ȳ = 288
• Sxx = 40, Sxy = 1100

Pendiente: b = 1100 / 40 = 27,5

Intercepto: a = 288 - 27,5 × 6 = 123

Ecuación: Ŷ = 123 + 27,5X

Interpretación: Cada aumento de $1.000 en publicidad está asociado con 27,5 unidades de venta adicionales.

Interpretando la pendiente

b = 27,5 significa:

• Por cada aumento de 1 unidad en X, Y aumenta 27,5 en promedio
• La relación es positiva (Y aumenta cuando X aumenta)
• Este es un efecto promedio—las observaciones individuales varían

Las unidades importan: Si X está en miles de dólares e Y está en unidades vendidas, entonces: "$1.000 más de publicidad → 27,5 unidades más vendidas"

Interpretando el intercepto

a = 123 significa:

• Cuando X = 0, el Y predicho es 123
• Cero publicidad predice 123 unidades vendidas

Precaución: Interpreta literalmente solo si X = 0 es significativo y está dentro del rango de tus datos.

Si tus datos abarcan X = 2 a 10, el intercepto es extrapolación y puede no ser significativo.

Residuos y ajuste

Residuo = Observado - Predicho

$e_i = y_i - \hat{y}_i$

Los residuos deben ser pequeños y estar dispersos aleatoriamente.

R cuadrado (coeficiente de determinación)

$R^2 = \text{proporción de varianza en Y explicada por X}$

$R^2 = 1 - \frac{SS_{residual}}{SS_{total}}$

O: $R^2 = r^2$ (correlación al cuadrado)

Para nuestro ejemplo: r = 0,995, entonces R² = 0,99

Interpretación: El 99% de la variación en ventas es explicada por el gasto en publicidad.

Error estándar de la estimación

$EE = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2}{n-2}}$

Mide el error típico de predicción.

Para nuestro ejemplo: EE ≈ 7,9 unidades

Las predicciones típicamente se desvían por aproximadamente 8 unidades.

Prueba de la pendiente

¿Es la pendiente significativamente diferente de cero?

H₀: β₁ = 0 (sin relación) H₁: β₁ ≠ 0 (existe relación)

Estadístico de prueba:

$t = \frac{b}{EE_b}$

Donde $EE_b = EE / \sqrt{S_{xx}}$

Si p < α, la pendiente es estadísticamente significativa.

Intervalo de confianza para la pendiente

$IC = b \pm t^* \times EE_b$

Da el rango de pendientes poblacionales plausibles.

Predicción

Predicción puntual

Para X = 7: Ŷ = 123 + 27,5(7) = 315,5 unidades

Intervalo de predicción

Considera la incertidumbre tanto en la línea como en la variación individual:

$IP = \hat{Y} \pm t^* \times EE \times \sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{(X - \bar{x})^2}{S_{xx}}}$

Los intervalos de predicción son siempre más anchos que los intervalos de confianza.

Supuestos (LÍNEA)

Linealidad

La relación entre X e Y es lineal.

Verificar: Diagrama de dispersión, gráfico de residuos

Independencia

Las observaciones son independientes.

Violación: Datos de series temporales, datos agrupados

Normalidad

Los residuos están normalmente distribuidos.

Verificar: Histograma de residuos, gráfico QQ

Varianza igual (homocedasticidad)

La dispersión de residuos es constante a través de valores de X.

Verificar: Gráfico de residuos (debe mostrar dispersión aleatoria)

Diagnósticos de residuos

Buen gráfico de residuos:

• Dispersión aleatoria alrededor de cero
• Sin patrones ni tendencias
• Dispersión constante

Problemas a detectar:

• Curvatura → relación no lineal
• Forma de embudo → heterocedasticidad
• Agrupaciones → subgrupos potenciales

Problemas comunes

Extrapolación

Predecir fuera del rango de valores X observados.

Si los datos abarcan X = 2 a 10, predecir en X = 20 es arriesgado.

Valores atípicos

Puntos inusuales pueden influir fuertemente en la línea.

Alto apalancamiento: Valores X extremos Alta influencia: Puntos que cambian la línea sustancialmente

Confusión

Variables terceras pueden explicar la relación.

La regresión no prueba causalidad.

Aplicaciones

Negocios

Pronóstico de ventas, modelado de demanda, análisis de precios.

Ciencia

Curvas de calibración, relaciones dosis-respuesta.

Economía

Funciones de consumo, elasticidad de precios.

Medicina

Gráficos de crecimiento, modelado de respuesta al tratamiento.

Ingeniería

Control de calidad, optimización de procesos.

Regresión vs. correlación

Conexión: r² = R² en regresión simple

Reportando resultados

Formato estándar:

"La regresión lineal simple reveló que el gasto en publicidad predijo significativamente las ventas, b = 27,5, EE = 1,38, t(3) = 19,9, p < ,001. El modelo explicó el 99% de la varianza en ventas (R² = ,99)."

Con ecuación:

"La ecuación de regresión fue: Ventas = 123 + 27,5 × Publicidad, F(1, 3) = 397, p < ,001, R² = ,99."

Contexto histórico

Francis Galton fue pionero en regresión en la década de 1880 estudiando herencia—específicamente, por qué los hijos de padres altos "regresaban" hacia la estatura promedio.

Karl Pearson formalizó las matemáticas, conectando regresión con correlación.

El término "regresión" persiste aunque las aplicaciones modernas raramente involucran "regresión hacia la media" en el sentido de Galton.

Cálculos relacionados

• Regresión múltiple — Múltiples predictores
• Correlación de Pearson — Fuerza de la relación
• Calculadora de R cuadrado — Ajuste del modelo
• Análisis de residuos — Verificación de supuestos
• Calculadora de intervalo de predicción — Incertidumbre en predicciones

Resumen

La regresión lineal simple ajusta la línea Y = a + bX para modelar cómo X predice Y. La pendiente (b) representa el cambio en Y por unidad de cambio en X; el intercepto (a) es el Y predicho cuando X = 0. R² indica la proporción de varianza explicada. Prueba la significancia de la pendiente y verifica los supuestos usando gráficos de residuos. Reporta la ecuación, R² y la prueba de significancia. Recuerda que la regresión muestra asociación, no causalidad, y evita extrapolar más allá del rango de tus datos.