Calculadora de regresión lineal múltiple

¿Qué es la regresión lineal múltiple?

La regresión lineal múltiple modela la relación entre una variable de resultado (Y) y dos o más variables predictoras (X₁, X₂, ..., Xₖ). Extiende la regresión simple para considerar múltiples factores simultáneamente.

Pregunta respondida: "¿Cómo predicen múltiples factores juntos el resultado, y cuál es la contribución única de cada factor?"

Ejemplos:

• "¿Cómo afectan el precio, la publicidad y la estacionalidad juntos las ventas?"
• "Predecir el precio de una casa a partir del tamaño, ubicación, antigüedad y dormitorios."
• "¿Qué factores contribuyen al desempeño del empleado?"

La ecuación de regresión

$Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \ldots + \beta_k X_k + \varepsilon$

O en forma matricial: $\mathbf{Y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}$

Donde:

• $\beta_0$ = intercepto
• $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_k$ = coeficientes de regresión parcial
• $\varepsilon$ = término de error

Interpretando coeficientes

Concepto clave: Cada coeficiente representa el efecto de ese predictor manteniendo constantes todos los demás predictores.

Ejemplo: Precio = 50.000 + 150(m²) + 20.000(dormitorios) - 1.000(antigüedad)

• Cada metro cuadrado adicional añade $150 al precio, controlando por dormitorios y antigüedad
• Cada dormitorio adicional añade $20.000, controlando por tamaño y antigüedad
• Cada año adicional de antigüedad reduce el precio en $1.000, controlando por tamaño y dormitorios

Ejemplo: Precios de casas

Datos: 50 casas con precio, metros cuadrados, dormitorios y antigüedad.

Resultado:

R² = 0,87 (87% de la varianza del precio explicada)

Todos los predictores son estadísticamente significativos.

R cuadrado y R² ajustado

$R^2 = 1 - \frac{SS_{\text{residual}}}{SS_{\text{total}}}$

Proporción de varianza explicada por todos los predictores juntos.

Problema: R² siempre aumenta al añadir predictores, incluso inútiles.

R² ajustado:

$R^2_{\text{adj}} = 1 - \frac{(1 - R^2)(n - 1)}{n - k - 1}$

Penaliza por número de predictores. Puede disminuir si los nuevos predictores no ayudan.

Usa R² ajustado para comparación de modelos.

La prueba F (modelo general)

Prueba si el modelo en su totalidad es significativo:

$H_0$: Todos los $\beta = 0$ (ningún predictor ayuda) $H_1$: Al menos un $\beta \neq 0$

$F = \frac{R^2 / k}{(1 - R^2) / (n - k - 1)}$

Con $gl_1 = k$ y $gl_2 = n - k - 1$

F significativo: El modelo predice Y mejor que solo usar la media.

Pruebas t (coeficientes individuales)

Cada coeficiente tiene su propia prueba t:

$H_0$: $\beta_i = 0$ (este predictor no ayuda, dados los otros) $H_1$: $\beta_i \neq 0$

$t = \frac{b_i}{EE_{b_i}}$

Un valor p significativo significa que ese predictor añade valor predictivo único más allá de los otros predictores.

Coeficientes estandarizados (pesos Beta)

Problema: Los coeficientes crudos tienen diferentes unidades, así que no puedes comparar magnitudes.

Solución: Estandarizar variables (puntuaciones z) antes de la regresión:

$\beta^* = b \times \frac{s_x}{s_y}$

Los pesos beta son comparables: mayor $|\beta^*|$ significa mayor influencia.

Ejemplo:

Los metros cuadrados tienen la mayor influencia en el precio.

Multicolinealidad

Cuando los predictores están altamente correlacionados entre sí:

Problemas:

• Las estimaciones de coeficientes se vuelven inestables
• Los errores estándar se inflan
• Las pruebas t individuales pueden ser no significativas aunque los predictores importen

Detección:

Factor de inflación de varianza (FIV): FIV > 10: Multicolinealidad seria FIV > 5: Preocupación moderada

Soluciones:

• Eliminar o combinar predictores correlacionados
• Usar regresión de componentes principales
• Usar regularización (Ridge, Lasso)

Supuestos

Linealidad

La relación entre cada X e Y es lineal (controlando por los otros).

Verificar: Gráficos de regresión parcial, gráficos de residuos

Independencia

Las observaciones son independientes.

Violación: Series temporales, datos agrupados

Normalidad

Los residuos están normalmente distribuidos.

Verificar: Histograma, gráfico QQ de residuos

Homocedasticidad

La varianza de residuos es constante a través de valores predichos.

Verificar: Gráfico de residuos vs. ajustados

Sin multicolinealidad perfecta

Los predictores no son combinaciones lineales perfectas entre sí.

Predictores categóricos

Incluye variables categóricas usando codificación dummy:

Para una variable con 3 categorías (A, B, C):

• Crea 2 variables dummy
• D1 = 1 si B, 0 en otro caso
• D2 = 1 si C, 0 en otro caso
• A es la categoría de referencia

Interpretación: Los coeficientes muestran diferencia de la categoría de referencia.

Efectos de interacción

Cuando el efecto de X₁ depende de X₂:

Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + β₃(X₁ × X₂)

Ejemplo: El efecto de la publicidad en las ventas depende del nivel de precio.

Interpretación: β₃ muestra cuánto cambia el efecto de X₁ por unidad de X₂.

Selección de modelo

Selección hacia adelante

Comienza sin predictores, añade uno a la vez (el más significativo primero).

Eliminación hacia atrás

Comienza con todos los predictores, elimina uno a la vez (el menos significativo primero).

Paso a paso

Combinación de hacia adelante y hacia atrás en cada paso.

Criterios de información

AIC, BIC: Menor es mejor, balancea ajuste contra complejidad.

Advertencia: Los métodos paso a paso pueden capitalizar el azar. Usa teoría para guiar la construcción del modelo.

Predicción

Predicción puntual: Ŷ = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + ...

Intervalo de predicción: Considera la incertidumbre en los coeficientes y la variación residual.

Más ancho que el intervalo de confianza para la predicción media.

Aplicaciones

Economía

PIB a partir de múltiples indicadores económicos. Gasto del consumidor a partir de ingresos, tasas de interés, confianza.

Marketing

Ventas a partir de precio, publicidad, distribución, estacionalidad.

Medicina

Resultados del paciente a partir de múltiples factores de riesgo. Severidad de enfermedad a partir de síntomas y resultados de pruebas.

Bienes raíces

Valuación de propiedades a partir de múltiples características.

Recursos humanos

Desempeño a partir de educación, experiencia, capacitación.

Problemas comunes

Sobreajuste

Demasiados predictores relativo al tamaño de muestra.

Regla general: Necesitas al menos 10-20 observaciones por predictor.

Sesgo de variable omitida

Excluir predictores importantes sesga los coeficientes restantes.

Valores atípicos y puntos influyentes

Pueden afectar dramáticamente los coeficientes.

Verificar: Distancia de Cook, valores de apalancamiento

Reportando resultados

Formato estándar:

"Se realizó un análisis de regresión múltiple para predecir el precio de casas a partir de metros cuadrados, dormitorios y antigüedad. El modelo fue estadísticamente significativo, F(3, 46) = 102,5, p < ,001, y explicó 87% de la varianza (R²_adj = ,86).

Los tres predictores fueron significativos: metros cuadrados (b = 147,5, β = ,65, p < ,001), dormitorios (b = 18.750, β = ,22, p = ,001), y antigüedad (b = -985, β = -,18, p = ,004)."

Contexto histórico

La regresión múltiple se desarrolló a principios del siglo XX cuando el poder computacional hizo factibles los cálculos matriciales.

Udny Yule y estadísticos posteriores extendieron el trabajo de Galton y Pearson sobre regresión simple a múltiples predictores.

El método se volvió práctico con las computadoras electrónicas en los años 1960 y sigue siendo una de las técnicas estadísticas más ampliamente usadas.

Cálculos relacionados

• Regresión lineal simple — Un solo predictor
• Calculadora de R cuadrado — Ajuste del modelo
• Correlación de Pearson — Relaciones bivariadas
• Regresión logística — Resultados binarios

Resumen

La regresión lineal múltiple predice un resultado a partir de múltiples predictores usando Y = β₀ + Σβᵢxᵢ. Cada coeficiente representa el efecto de ese predictor controlando por todos los demás. Evalúa el ajuste general del modelo con la prueba F y R² (usa R² ajustado). Prueba predictores individuales con pruebas t. Los coeficientes estandarizados (pesos beta) permiten comparar la importancia de predictores. Verifica supuestos con gráficos de residuos y vigila la multicolinealidad. Incluye suficientes observaciones relativas a los predictores (mínimo 10-20 por predictor) para evitar sobreajuste.