Calculadora de distribución beta

Modela probabilidades y proporciones.

Ejemplos:
P(X ≤ x)
0.579825
Media
0.285714
Moda
0.2
Desviación estándar
0.159719
0.00.10.10.10.20.30.30.30.40.50.50.60.60.70.70.80.80.80.90.91.000.250.50.751

Usos comunes

  • Prior bayesiano para probabilidades/proporciones
  • Modelado de variables aleatorias acotadas [0, 1]
  • Estimaciones de finalización de proyectos (PERT)
  • Prior conjugado para verosimilitud binomial
FDP de distribución beta
f(x;α,β)=xα−1(1−x)β−1B(α,β)f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}

¿Qué es la distribución Beta?

La distribución Beta es una distribución de probabilidad continua definida en el intervalo [0, 1], lo que la hace ideal para modelar probabilidades, proporciones y porcentajes. Con dos parámetros de forma (α\alpha y β\beta), puede tomar una notable variedad de formas—desde uniforme hasta forma de U hasta altamente sesgada—haciéndola una de las distribuciones más flexibles en estadística.

La distribución Beta es central en la estadística bayesiana, donde sirve como a priori conjugado para proporciones binomiales.

La distribución

Función de densidad de probabilidad (PDF)

f(x;α,β)=xα−1(1−x)β−1B(α,β)f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}

Donde B(α,β)B(\alpha, \beta) es la función beta:

B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}

Estadísticos clave

  • Media: μ=αα+β\mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}
  • Varianza: σ2=αβ(α+β)2(α+β+1)\sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}
  • Moda (cuando α,β>1\alpha, \beta > 1): α−1α+β−2\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}

Efectos de los parámetros de forma

Los parámetros α\alpha y β\beta controlan la forma de la distribución:

ParámetrosForma
α=β=1\alpha = \beta = 1Uniforme (plana)
α=β>1\alpha = \beta > 1Simétrica, forma de campana
α=β<1\alpha = \beta < 1Forma de U
α>β\alpha > \betaSesgada a la izquierda (hacia 1)
α<β\alpha < \betaSesgada a la derecha (hacia 0)
α,β\alpha, \beta grandesConcentrada, baja varianza

Aplicaciones prácticas

Inferencia bayesiana para proporciones

La distribución Beta es el a priori conjugado para la distribución binomial. Si tu a priori para una probabilidad pp es Beta(α,β)Beta(\alpha, \beta), y observas ss éxitos en nn ensayos, tu posterior es:

p∣datos∼Beta(α+s,β+n−s)p \mid datos \sim Beta(\alpha + s, \beta + n - s)

Esta actualización elegante hace que los modelos beta-binomiales sean computacionalmente simples e interpretables.

Pruebas A/B

En pruebas A/B bayesianas, las tasas de conversión se modelan con distribuciones Beta. La probabilidad de que la variante A supere a la variante B se puede calcular directamente a partir de sus distribuciones posteriores Beta.

Gestión de proyectos (PERT)

La Técnica de Evaluación y Revisión de Programas (PERT) usa distribuciones Beta para modelar la incertidumbre en la duración de tareas dadas estimaciones optimistas, más probables y pesimistas.

Aprendizaje automático

Las distribuciones Beta aparecen en:

  • Modelado de temas (Latent Dirichlet Allocation usa Dirichlet, una Beta multivariada)
  • Redes neuronales bayesianas
  • Muestreo de Thompson para bandidos multibrazo

Analítica deportiva

Los promedios de bateo, porcentajes de tiros libres y otras métricas de rendimiento acotadas se modelan naturalmente con distribuciones Beta.

Interpretación bayesiana

Piensa en α\alpha y β\beta como "pseudo-conteos":

  • α−1\alpha - 1 = pseudo-éxitos
  • β−1\beta - 1 = pseudo-fracasos

Un a priori Beta(1,1)Beta(1, 1) (uniforme) representa ignorancia completa. Un a priori Beta(10,10)Beta(10, 10) representa creencia previa centrada en 0,5 con confianza moderada.

Ejemplo: Comenzando con Beta(1,1)Beta(1, 1), después de observar 7 éxitos y 3 fracasos, el posterior es Beta(8,4)Beta(8, 4) con media 8/12=0,6678/12 = 0,667.

Relación con otras distribuciones

Distribución uniforme

Beta(1,1)Beta(1, 1) es la distribución uniforme en [0, 1].

Conexión binomial

Si X∼Binomial(n,p)X \sim Binomial(n, p) y p∼Beta(α,β)p \sim Beta(\alpha, \beta), la distribución marginal de XX es beta-binomial.

Estadísticos de orden

El kk-ésimo estadístico de orden de nn muestras uniformes [0,1] sigue Beta(k,n−k+1)Beta(k, n-k+1).

Conexión con la distribución F

Si X∼Beta(α,β)X \sim Beta(\alpha, \beta), entonces X1−X⋅βα\frac{X}{1-X} \cdot \frac{\beta}{\alpha} sigue una distribución F.

Estimación de parámetros

Dados los datos, estima α\alpha y β\beta usando:

Método de momentos: α^=xˉ(xˉ(1−xˉ)s2−1)\hat{\alpha} = \bar{x}\left(\frac{\bar{x}(1-\bar{x})}{s^2} - 1\right) β^=(1−xˉ)(xˉ(1−xˉ)s2−1)\hat{\beta} = (1-\bar{x})\left(\frac{\bar{x}(1-\bar{x})}{s^2} - 1\right)

Máxima verosimilitud: Optimización numérica de la log-verosimilitud.

Calculando probabilidades

La CDF (función beta incompleta) requiere métodos numéricos:

F(x;α,β)=Ix(α,β)=B(x;α,β)B(α,β)F(x; \alpha, \beta) = I_x(\alpha, \beta) = \frac{B(x; \alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)}

Los cuantiles (CDF inversa) también requieren inversión numérica.

Cálculos relacionados

Resumen

La flexibilidad y conveniencia matemática de la distribución Beta la hacen indispensable para modelar probabilidades y proporciones. Su papel como a priori conjugado para datos binomiales la hace fundamental en la estadística bayesiana, permitiendo soluciones analíticas elegantes para la estimación de proporciones. Ya sea que estés ejecutando pruebas A/B, construyendo modelos probabilísticos o cuantificando incertidumbre en cantidades acotadas, la distribución Beta proporciona un marco con principios y práctico.

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