Calculadora de distribución geométrica

¿Qué es la distribución geométrica?

La distribución geométrica modela el número de ensayos necesarios para lograr el primer éxito en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito. Responde preguntas como "¿Cuántas veces debo lanzar una moneda hasta obtener cara?" o "¿Cuántos productos debo inspeccionar hasta encontrar un defecto?"

La distribución geométrica es el análogo discreto de la distribución exponencial y comparte su propiedad de falta de memoria.

Dos convenciones

Hay dos definiciones comunes de la distribución geométrica:

Convención 1: Número de ensayos (k ≥ 1)

X = número de ensayos hasta el primer éxito (incluyendo el ensayo exitoso)

$P(X = k) = (1-p)^{k-1} \cdot p \quad \text{para } k = 1, 2, 3, \ldots$

• Media: $E[X] = \frac{1}{p}$
• Varianza: $Var(X) = \frac{1-p}{p^2}$

Convención 2: Número de fracasos (k ≥ 0)

Y = número de fracasos antes del primer éxito

$P(Y = k) = (1-p)^k \cdot p \quad \text{para } k = 0, 1, 2, \ldots$

• Media: $E[Y] = \frac{1-p}{p}$
• Varianza: $Var(Y) = \frac{1-p}{p^2}$

Nota: $Y = X - 1$, así que la relación entre convenciones es directa.

La propiedad de falta de memoria

Como la distribución exponencial, la distribución geométrica es sin memoria:

$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$

Si ya has fallado $m$ veces, tus ensayos adicionales esperados hasta el éxito son los mismos que si empezaras de nuevo. Los fracasos pasados no influyen en el éxito futuro.

Importante: La distribución geométrica es la única distribución discreta con esta propiedad.

Aplicaciones prácticas

Control de calidad

¿Cuántos artículos deben inspeccionarse para encontrar el primer defectuoso? Si la tasa de defectos es 2% ($p = 0,02$), en promedio necesitarías inspeccionar $1/0,02 = 50$ artículos.

Ventas y marketing

¿Cuántas llamadas hasta la primera venta? ¿Cuántos correos hasta una respuesta? Los modelos geométricos ayudan a establecer expectativas y medir rendimiento.

Genética

¿Cuántos descendientes hasta que uno herede un rasgo particular? Si la probabilidad de herencia es 0,25, espera aproximadamente 4 descendientes en promedio.

Juegos de azar

¿Cuántos boletos de lotería hasta un premio? ¿Cuántas tiradas hasta un jackpot? (Aunque las apuestas reales involucran probabilidades más complejas.)

Pruebas de confiabilidad

¿Cuántas pruebas de estrés hasta la falla del componente? La distribución geométrica aplica cuando cada prueba tiene probabilidad de falla independiente.

Probabilidades acumuladas

La CDF (probabilidad de éxito dentro de $k$ ensayos) es:

$P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$

La función de supervivencia (probabilidad de ningún éxito en los primeros $k$ ensayos) es:

$P(X > k) = (1-p)^k$

Ejemplo de cálculo

Problema: Un jugador de baloncesto encesta tiros libres con 75% de precisión. ¿Cuál es la probabilidad de que enceste su primera canasta exactamente en el tercer intento?

Usando convención 1 (ensayos hasta el éxito):

• $p = 0,75$ (probabilidad de éxito)
• $k = 3$ (primer éxito en el tercer ensayo)

$P(X = 3) = (1-0,75)^{3-1} \cdot 0,75 = (0,25)^2 \cdot 0,75 = 0,0469$

Aproximadamente 4,7% de probabilidad de fallar dos veces y luego encestar la tercera.

Conexión con otras distribuciones

Binomial negativa

La distribución binomial negativa generaliza la distribución geométrica para contar ensayos hasta $r$ éxitos (geométrica es el caso especial $r = 1$).

Distribución exponencial

La distribución exponencial es el análogo de tiempo continuo. Si los eventos ocurren en tiempo continuo a tasa $\lambda$, el tiempo de espera es exponencial. Si los eventos ocurren en ensayos discretos con probabilidad $p$, los ensayos de espera son geométricos.

Distribución binomial

La distribución binomial cuenta éxitos en un número fijo de ensayos, mientras que la geométrica cuenta ensayos hasta el primer éxito.

Cuándo la geométrica no aplica

• Probabilidad no constante: Si $p$ cambia a través de ensayos
• Ensayos dependientes: Si los resultados influyen entre sí
• Múltiples tipos de éxito: Cuando el éxito no es binario

Cuantiles y percentiles

El cuantil $q$ (mínimo $k$ tal que $P(X \leq k) \geq q$) es:

$k = \left\lceil \frac{\ln(1-q)}{\ln(1-p)} \right\rceil$

Esto te dice cuántos ensayos garantizan una probabilidad dada de éxito.

Cálculos relacionados

• Calculadora de probabilidad binomial — Ensayos fijos, contar éxitos
• Calculadora binomial negativa — Ensayos hasta $r$ éxitos
• Calculadora de distribución exponencial — Análogo continuo
• Calculadora de probabilidad de Poisson — Eventos en tiempo fijo

Resumen

La distribución geométrica es el modelo preferido para contar ensayos independientes hasta el primer éxito. Su propiedad de falta de memoria significa que los fracasos pasados no afectan la probabilidad de éxito futuro—cada ensayo es un nuevo comienzo. Ya sea analizando control de calidad, procesos de ventas o juegos de azar, la distribución geométrica proporciona fórmulas simples para tiempos de espera esperados y probabilidades de éxito.