Calculadora de distribución hipergeométrica

¿Qué es la Distribución Hipergeométrica?

La distribución hipergeométrica modela la probabilidad de obtener un número específico de éxitos al muestrear sin reemplazo de una población finita. A diferencia de la distribución binomial, que asume ensayos independientes con probabilidad constante, la distribución hipergeométrica tiene en cuenta cómo cada extracción cambia la composición de la población restante.

Ejemplo clásico: Sacar cartas de una baraja. Una vez que sacas un as, quedan menos ases (y menos cartas en total), lo que afecta las probabilidades de las extracciones siguientes.

La Configuración

Considera una población de $N$ elementos:

• $K$ elementos son "éxitos" (el tipo que estás contando)
• $N - K$ elementos son "fracasos"

Extraes $n$ elementos sin reemplazo. La distribución hipergeométrica da la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos.

La Fórmula

$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Donde:

• $\binom{K}{k}$ = formas de elegir $k$ éxitos de los $K$ disponibles
• $\binom{N-K}{n-k}$ = formas de elegir los elementos restantes de los no-éxitos
• $\binom{N}{n}$ = formas totales de elegir $n$ elementos de $N$

Rango Válido para k

El número de éxitos $k$ debe satisfacer:

$\max(0, n - (N - K)) \leq k \leq \min(n, K)$

No puedes extraer más éxitos de los que existen ($k \leq K$), más de los que extraes ($k \leq n$), ni menos de los forzados por tener muy pocos fracasos ($k \geq n - (N - K)$).

Estadísticos Clave

• Media: $E[X] = n \cdot \frac{K}{N}$
• Varianza: $Var(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$

La fórmula de la varianza incluye el factor de corrección para población finita $\frac{N-n}{N-1}$, que reduce la varianza en comparación con el muestreo binomial.

Aplicaciones Prácticas

Control de Calidad

Un envío contiene 100 piezas, de las cuales 10 son defectuosas. Si un inspector muestrea 20 piezas sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 3 defectuosas?

$P(X = 3) = \frac{\binom{10}{3} \binom{90}{17}}{\binom{100}{20}} \approx 0.211$

Esto es más preciso que la aproximación binomial para poblaciones pequeñas.

Juegos de Cartas

Probabilidad de recibir exactamente 2 corazones en una mano de póker de 5 cartas:

$P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2} \binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \times 9139}{2598960} \approx 0.274$

Estudios Ecológicos

Los métodos de captura-recaptura estiman tamaños de población usando razonamiento hipergeométrico. Si los investigadores marcaron 50 peces, y luego capturaron 30 peces (de los cuales 10 estaban marcados), pueden estimar la población total.

Análisis de Lotería

Los cálculos de probabilidad de lotería a menudo involucran distribuciones hipergeométricas, especialmente para juegos donde seleccionas números de un grupo fijo sin reemplazo.

Auditoría

Al auditar una muestra de transacciones en busca de errores, la distribución hipergeométrica modela correctamente la búsqueda de errores en la muestra dada una población finita de transacciones.

Hipergeométrica vs. Binomial

Cuándo usar la aproximación binomial: Cuando $n < 0.05N$ (la muestra es menos del 5% de la población), la binomial aproxima bien a la hipergeométrica y es computacionalmente más simple.

Conexión con la Prueba Exacta de Fisher

La prueba exacta de Fisher para tablas de contingencia 2×2 se basa en la distribución hipergeométrica. Prueba si dos variables categóricas son independientes calculando probabilidades hipergeométricas.

Hipergeométrica Multivariante

La distribución se extiende a múltiples categorías. Si una población tiene elementos de tipos 1, 2, ..., $m$ con cantidades $K_1, K_2, ..., K_m$:

$P(X_1 = k_1, ..., X_m = k_m) = \frac{\prod_{i=1}^{m} \binom{K_i}{k_i}}{\binom{N}{n}}$

Esto modela escenarios como sacar cartas de múltiples palos o muestrear elementos de múltiples tipos.

Consideraciones Computacionales

Para poblaciones grandes, el cálculo directo de factoriales lleva a desbordamiento. Usa:

• Cálculos de log-factorial: $\log(n!) = \sum_{i=1}^{n} \log(i)$
• Relaciones recursivas
• Aproximación de Stirling para valores muy grandes

Cálculos Relacionados

• Calculadora de Probabilidad Binomial — Muestreo con reemplazo
• Prueba Exacta de Fisher — Basada en la hipergeométrica
• Calculadora de Combinaciones — Conteo subyacente
• Calculadora Binomial Negativa — Hasta $r$ éxitos

Resumen

La distribución hipergeométrica es esencial cuando se muestrea sin reemplazo de una población finita—situaciones donde cada selección genuinamente afecta las probabilidades subsiguientes. Desde inspecciones de control de calidad hasta probabilidades en juegos de cartas y estimaciones de poblaciones ecológicas, proporciona probabilidades exactas que las aproximaciones binomiales no capturan. Aunque es computacionalmente más intensiva, las herramientas modernas manejan los cálculos fácilmente, haciendo que el análisis hipergeométrico sea accesible para aplicaciones prácticas.