Calculadora binomial negativa

Usa la distribución binomial negativa cuando estés contando cuántos intentos toma lograr un cierto número de éxitos, o cuando tengas datos de conteo que son más variables de lo que la distribución de Poisson permite. Se usa comúnmente en biología para modelar abundancia de especies, en seguros para conteos de reclamaciones, y en control de calidad para análisis de defectos—en cualquier lugar donde los conteos muestren más variabilidad de la esperada.

¿Qué es la distribución binomial negativa?

La distribución binomial negativa modela el número de ensayos necesarios para lograr un número especificado de éxitos, o equivalentemente, el número de fracasos antes de lograr r éxitos.

También usada para: Datos de conteo con sobredispersión (varianza > media), que el Poisson no puede manejar.

Dos parametrizaciones

Tipo 1: Ensayos hasta r éxitos

Pregunta: "¿Cuántos ensayos hasta obtener r éxitos?"

$P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}$

Donde:

• X = número de ensayos (mínimo r)
• k = total de ensayos
• r = éxitos requeridos
• p = probabilidad de éxito por ensayo

Tipo 2: Fracasos antes de r éxitos

Pregunta: "¿Cuántos fracasos antes de r éxitos?"

$P(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^r (1-p)^k$

Donde:

• X = número de fracasos (mínimo 0)
• k = número de fracasos
• r = éxitos requeridos
• p = probabilidad de éxito por ensayo

Tipo 3: Forma media-dispersión (conteos sobredispersos)

$P(X = k) = \binom{k+r-1}{k} \left(\frac{r}{r+\mu}\right)^r \left(\frac{\mu}{r+\mu}\right)^k$

Donde:

• μ = media
• r = parámetro de dispersión (menor r = más sobredispersión)

Ejemplo: Ensayos hasta éxito

Escenario: Un jugador de baloncesto tiene 70% de éxito en tiros libres. ¿Cuál es la probabilidad de necesitar exactamente 5 tiros para encestar 3 canastas?

Parámetros:

• r = 3 (necesita 3 éxitos)
• p = 0,70
• k = 5 (total de tiros)

$P(X = 5) = \binom{4}{2}(0,70)^3(0,30)^2$ $= 6 \times 0,343 \times 0,09 = 0,185$

Interpretación: 18,5% de probabilidad de necesitar exactamente 5 tiros.

Ejemplo: Conteos sobredispersos

Escenario: Visitas diarias a urgencias. Media = 20, pero varianza = 45 (mucho mayor que la media).

Poisson asume varianza = media, así que es inapropiado.

Binomial negativa con μ = 20 y r = 16 (estimado de los datos): $\text{Varianza} = \mu + \frac{\mu^2}{r} = 20 + \frac{400}{16} = 45$ ✓

Media y varianza

Para la versión "Fracasos antes de r éxitos"

$E[X] = \frac{r(1-p)}{p}$

$\text{Var}(X) = \frac{r(1-p)}{p^2}$

Para la versión "Conteos sobredispersos"

$E[X] = \mu$

$\text{Var}(X) = \mu + \frac{\mu^2}{r}$

Insight clave: La varianza siempre excede la media (sobredispersión).

Relación con otras distribuciones

Caso especial: Distribución geométrica

Binomial negativa con r = 1 es la distribución geométrica (ensayos hasta el primer éxito).

Caso límite: Distribución de Poisson

Cuando r → ∞, la binomial negativa se aproxima a Poisson con parámetro μ.

Interpretación de mezcla

La binomial negativa puede verse como una distribución de Poisson donde el parámetro de tasa sigue una distribución gamma (mezcla Poisson-gamma).

Detectando sobredispersión

Verificación visual

Compara el histograma de conteos con Poisson con la misma media.

Razón varianza-a-media

$\text{Dispersión} = \frac{\text{Varianza}}{\text{Media}}$

• Razón = 1: Poisson apropiado
• Razón > 1: Sobredispersión → considera binomial negativa
• Razón >> 1: Sobredispersión fuerte

Prueba estadística

En regresión de Poisson, prueba si el parámetro de dispersión = 1.

Cuándo usar binomial negativa

Procesos de conteo

• Número de fracasos antes del éxito
• Ensayos hasta alcanzar cuota
• Esperar eventos raros

Datos de conteo sobredispersos

• Conteos de enfermedades con agrupamiento
• Datos de accidentes
• Reclamaciones de seguros
• Conteos ecológicos (abundancia de especies)
• Visitas a sitios web con efectos virales

Cuando Poisson no ajusta

Si el modelo Poisson muestra sobredispersión, prueba binomial negativa.

Regresión binomial negativa

Modela datos de conteo con covariables:

$\log(\mu_i) = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i} + \cdots$

Con varianza binomial negativa:

$\text{Var}(Y_i) = \mu_i + \frac{\mu_i^2}{r}$

Usa cuando: La regresión de Poisson muestra sobredispersión (devianza >> gl).

Probabilidades acumulativas

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$

Para cálculos prácticos, usa software o tablas estadísticas.

Aplicaciones

Control de calidad

Número de inspecciones hasta encontrar r artículos defectuosos.

Ensayos clínicos

Número de pacientes evaluados hasta encontrar r sujetos elegibles.

Epidemiología

Conteos de enfermedades cuando existe agrupamiento o heterogeneidad.

Ecología

Datos de abundancia de especies (frecuentemente altamente sobredispersos).

Seguros

Conteos de reclamaciones por asegurado.

Ingeniería de software

Conteos de errores en módulos de código.

Ejemplo: Readmisiones hospitalarias

Datos: Conteos de readmisión a 30 días para 500 pacientes

La binomial negativa ajusta mucho mejor debido a la sobredispersión por heterogeneidad no observada de pacientes.

Estimando parámetros

Método de momentos

$\hat{p} = \frac{\bar{X}}{\text{Var}(X)}$ $\hat{r} = \frac{\bar{X}^2}{\text{Var}(X) - \bar{X}}$

Máxima verosimilitud

Más preciso; requiere computación iterativa.

Intervalos de confianza

Para probabilidades estimadas, usa métodos exactos para muestras pequeñas o aproximación normal para muestras grandes.

Reportando resultados

Para regresión:

"Se usó regresión binomial negativa debido a sobredispersión significativa en el modelo de Poisson (dispersión = 2,8). Los conteos de readmisión hospitalaria estuvieron significativamente asociados con la edad (RIT = 1,03 por año, IC 95%: 1,01-1,05, p = ,003) y admisiones previas (RIT = 1,45, IC 95%: 1,22-1,72, p < ,001)."

Para cálculo de probabilidad:

"Bajo un modelo binomial negativo con r = 3 éxitos y p = 0,70, la probabilidad de necesitar exactamente 5 ensayos es 18,5%."

Errores comunes

Usar Poisson cuando hay sobredispersión

Verifica la razón varianza-a-media. Si > 1,5, considera binomial negativa.

Confundir parametrizaciones

Sé claro si cuentas ensayos, fracasos, o usas la forma media-dispersión.

Ignorar inflación de ceros

Si hay exceso de ceros más allá de lo que predice la binomial negativa, considera modelos inflados en ceros.

Fórmula de varianza incorrecta

La fórmula de varianza difiere por parametrización—usa la que coincida con tu formulación.

Comparación con Poisson

Contexto histórico

La distribución binomial negativa fue estudiada por Pascal en el siglo XVII en el contexto de esperar éxitos en ensayos repetidos.

Su aplicación a datos de conteo sobredispersos se desarrolló en el siglo XX, particularmente a través del trabajo de Greenwood y Yule (1920) en epidemiología y Fisher en genética.

Cálculos relacionados

• Calculadora de probabilidad binomial — Número fijo de ensayos
• Calculadora de probabilidad de Poisson — Cuando varianza ≈ media
• Distribución geométrica — Caso especial r = 1
• Bondad de ajuste chi-cuadrado — Probar ajuste

Resumen

La distribución binomial negativa modela ya sea el número de ensayos hasta r éxitos o datos de conteo sobredispersos donde la varianza excede la media. Es más flexible que Poisson, acomodando agrupamiento y heterogeneidad en datos de conteo. Las aplicaciones clave incluyen control de calidad (esperar r defectos), epidemiología (agrupamiento de enfermedades), y cualquier dato de conteo que falle el supuesto de varianza de Poisson. El parámetro de dispersión r controla el grado de sobredispersión—menor r significa más sobredispersión. Usa regresión binomial negativa cuando la regresión de Poisson muestre sobredispersión.