Calculadora de valor esperado

¿Qué es el valor esperado?

El valor esperado (VE) es el resultado promedio a largo plazo de una variable aleatoria cuando un experimento se repite muchas veces. Representa el "centro de masa" de una distribución de probabilidad y es uno de los conceptos más importantes en teoría de probabilidad y toma de decisiones.

A pesar de su nombre, el valor esperado no es necesariamente un valor que "esperarías" ver en cualquier ensayo individual—es el promedio al que te aproximarías después de muchas repeticiones.

La fórmula

Para una variable aleatoria discreta con resultados $x_i$ y probabilidades $P(x_i)$:

$E[X] = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i)$

Para una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad $f(x)$:

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx$

Un ejemplo simple

Considera un dado justo de seis caras. El valor esperado es:

$E[X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3,5$

Nunca puedes sacar 3,5, pero este es el valor esperado. Si lanzaras el dado miles de veces, tu promedio convergería a 3,5.

Aplicaciones prácticas

Juegos de azar y casinos

Los casinos aseguran que cada juego tenga un valor esperado negativo para los jugadores. En la ruleta, apostar $1 al rojo:

• Ganar $1 con probabilidad 18/38
• Perder $1 con probabilidad 20/38

$E[X] = (1)\frac{18}{38} + (-1)\frac{20}{38} = -\frac{2}{38} \approx -\$0,053$

La ventaja de la casa de aproximadamente 5,3 centavos por dólar apostado asegura la rentabilidad del casino sobre millones de apuestas.

Seguros

Las compañías de seguros usan el valor esperado para fijar precios de pólizas. Si hay un 1% de probabilidad de un reclamo de $100.000, el pago esperado es$1.000. La prima debe exceder esto para ser rentable.

Decisiones de inversión

Los gestores de cartera calculan rendimientos esperados ponderando los posibles resultados por sus probabilidades:

$E[Rendimiento] = (0,20)(0,30) + (0,08)(0,50) + (-0,15)(0,20) = 0,07 = 7\%$

Decisiones de negocios

El valor esperado ayuda a comparar opciones con resultados inciertos. ¿Debería una empresa perseguir el Proyecto A con pagos inciertos o el Proyecto B con un rendimiento garantizado?

Propiedades del valor esperado

Linealidad

Para cualesquiera variables aleatorias X e Y y constantes a, b:

$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$

Esta propiedad es extraordinariamente útil y se mantiene independientemente de si X e Y son independientes.

Valor esperado de una constante

$E[c] = c$

Transformación

Si $Y = g(X)$, entonces:

$E[Y] = E[g(X)] = \sum_{i} g(x_i) \cdot P(x_i)$

Valor esperado vs. resultado más probable

El valor esperado difiere de la moda (resultado más probable). En una lotería donde:

• 99,9% de probabilidad de ganar $0
• 0,1% de probabilidad de ganar $10.000

La moda es 0, pero: $$E[X] = (0)(0,999) + (10000)(0,001) = \10$$

Varianza y valor esperado

La varianza mide la dispersión alrededor del valor esperado:

$Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$

Dos inversiones podrían tener el mismo rendimiento esperado pero varianzas muy diferentes—una consideración crítica para inversores aversos al riesgo.

La ley de los grandes números

La Ley de los Grandes Números garantiza que a medida que el número de ensayos aumenta, el promedio muestral converge al valor esperado. Por esto:

• Los casinos son rentables a pesar de que jugadores individuales ocasionalmente ganen
• Las compañías de seguros pueden estimar pagos confiablemente
• El muestreo de control de calidad funciona

Teoría de decisión

El valor esperado es central para la teoría de decisión, pero no es toda la historia. Considera:

• 50% de probabilidad de ganar $1.000.000 vs.$400.000 garantizados

Los valores esperados son $500.000 y$400.000, pero la mayoría de las personas prefiere la cantidad garantizada. Esto lleva a la teoría de utilidad esperada, que considera las preferencias de riesgo.

Cálculos relacionados

• Calculadora de varianza — Medir dispersión alrededor del valor esperado
• Calculadora de desviación estándar — Raíz cuadrada de la varianza
• Calculadora de probabilidad binomial — El valor esperado es $np$
• Calculadora de probabilidad de Poisson — El valor esperado iguala $\lambda$
• Calculadora de promedio ponderado — Cálculo ponderado similar

Resumen

El valor esperado proporciona un número único que resume el comportamiento promedio a largo plazo de una variable aleatoria. Es fundamental para la probabilidad, estadística, economía y toma de decisiones. Aunque indispensable, el valor esperado solo no captura el riesgo—siempre considera la varianza junto con él para una imagen completa de resultados inciertos.