Calculateur chi-carré inverse
Trouvez la valeur chi-carré à partir du percentile.
La probabilité doit être entre 0 et 1 (exclusif)
Entrez la probabilité et les degrés de liberté
Qu'est-ce que le calculateur de chi-carré inverse ?
La fonction chi-carré inverse trouve la valeur χ² correspondant à une probabilité donnée. Alors que le Calculateur de distribution Chi-carré trouve P(χ² < x), cette fonction inverse demande « Quelle valeur χ² a cette probabilité en dessous d'elle ? »
Donné : Probabilité (cumulative), degrés de liberté Renvoie : La valeur χ² à ce percentile
Valeurs critiques courantes
Pour une probabilité de queue droite α = 0,05 (cumulative p = 0,95) :
| dl | χ²₀,₉₅ |
|---|---|
| 1 | 3,84 |
| 2 | 5,99 |
| 3 | 7,81 |
| 5 | 11,07 |
| 10 | 18,31 |
| 15 | 25,00 |
| 20 | 31,41 |
| 30 | 43,77 |
Pour α = 0,01 (cumulative p = 0,99) :
| dl | χ²₀,₉₉ |
|---|---|
| 1 | 6,63 |
| 5 | 15,09 |
| 10 | 23,21 |
| 20 | 37,57 |
Applications
Tests d'hypothèse
Test chi-carré d'indépendance : « À α = 0,05 avec dl = 4, quelle est la valeur critique ? »
χ²₀,₉₅(4) = 9,49
Rejeter H₀ si χ² observé > 9,49
Test d'ajustement : « En testant 6 catégories à α = 0,01, quel est le χ² critique ? »
dl = 6 - 1 = 5 χ²₀,₉₉(5) = 15,09
Intervalle de confiance pour la variance
Pour une population normale, l'IC pour σ² utilise les quantiles chi-carré :
Inférieur : (n-1)s² / χ²₁₋α/₂ Supérieur : (n-1)s² / χ²α/₂
Exemple : n = 25, s² = 16, IC 95%
dl = 24 χ²₀,₉₇₅(24) = 39,36 χ²₀,₀₂₅(24) = 12,40
IC : (24×16/39,36, 24×16/12,40) = (9,76, 30,97)
Cartes de contrôle pour la variabilité
Les cartes S (écart type) et les cartes R (étendue) utilisent les quantiles chi-carré pour définir les limites de contrôle.
Queue supérieure vs queue inférieure
Percentile supérieur (queue droite) : χ²₀,₉₅ = valeur avec 5% au-dessus
Utilisé pour : Tests où un grand χ² indique la significativité
Percentile inférieur (queue gauche) : χ²₀,₀₅ = valeur avec 5% en dessous
Utilisé pour : Borne inférieure de l'IC de variance, tests pour variance trop petite
Propriétés de la distribution Chi-carré
Quand dl augmente :
- Moyenne = dl
- Variance = 2 × dl
- La distribution devient plus symétrique
- Tend vers la normale : χ² ≈ N(dl, √(2dl)) pour grands dl
| dl | Forme | χ²₀,₉₅ |
|---|---|---|
| 1 | Très asymétrique | 3,84 |
| 5 | Asymétrique à droite | 11,07 |
| 30 | Presque symétrique | 43,77 |
Contexte historique
Les tables de valeurs critiques chi-carré étaient essentielles avant les ordinateurs.
Karl Pearson a publié les premières tables chi-carré vers 1900.
Ronald Fisher a étendu les tables et les a reliées aux degrés de liberté.
La fonction gamma incomplète sous-tend le calcul chi-carré, rendant les méthodes numériques essentielles pour un calcul précis des quantiles.
Méthodes computationnelles
Le chi-carré inverse n'a pas de forme fermée. Les méthodes incluent :
Itération de Newton-Raphson : Résoudre CDF(x) - p = 0
Approximation de Wilson-Hilferty : Pour grands dl : χ² ≈ dl × [1 - 2/(9dl) + z×√(2/(9dl))]³
Cette transformation cubique donne une bonne approximation de l'inverse.
Bissection avec CDF : Recherche binaire utilisant le calcul de CDF direct
Bilatéral vs unilatéral
Unilatéral (la plupart des tests chi-carré) : Comparer χ² observé à χ²₁₋α
Seules les grandes valeurs χ² indiquent la significativité.
Bilatéral (tests de variance) : Tester si la variance est différente (pas seulement plus grande ou plus petite) :
- Valeur critique inférieure : χ²α/₂
- Valeur critique supérieure : χ²₁₋α/₂
Tables de quantiles
| Probabilité | dl=5 | dl=10 | dl=20 |
|---|---|---|---|
| 0,01 | 0,55 | 2,56 | 8,26 |
| 0,05 | 1,15 | 3,94 | 10,85 |
| 0,10 | 1,61 | 4,87 | 12,44 |
| 0,50 | 4,35 | 9,34 | 19,34 |
| 0,90 | 9,24 | 15,99 | 28,41 |
| 0,95 | 11,07 | 18,31 | 31,41 |
| 0,99 | 15,09 | 23,21 | 37,57 |
Relations avec d'autres distributions
Normale : La somme de k normales standard au carré suit χ²(k)
Gamma : χ²(k) = Gamma(k/2, 2)
F : F = (χ₁²/dl₁) / (χ₂²/dl₂)
Exponentielle : χ²(2) = Exponentielle avec taux 1/2
Sélection des degrés de liberté
| Test | dl |
|---|---|
| Ajustement | catégories - 1 - paramètres estimés |
| Indépendance (r×c) | (r-1)(c-1) |
| Test de variance | n - 1 |
| Homogénéité | (catégories - 1) × (groupes - 1) |
Le Calculateur de degrés de liberté aide à déterminer dl.
Calculs associés
- Calculateur de distribution Chi-carré — Calcul direct
- Test d'indépendance Chi-carré — Utilise le χ² critique
- Ajustement Chi-carré — Utilise le χ² critique
- Calculateur de variance — Variance d'échantillon
- Calculateur de degrés de liberté — Calculer dl
Résumé
Le calculateur de chi-carré inverse convertit les probabilités cumulatives en valeurs χ² pour n'importe quels degrés de liberté. Essentiel pour trouver les valeurs critiques dans les tests chi-carré, construire des intervalles de confiance pour la variance et définir les limites des cartes de contrôle, la fonction inverse complète la CDF directe. La distribution chi-carré est toujours asymétrique à droite (plus encore pour les petits dl), donc la plupart des tests utilisent des valeurs critiques de queue supérieure, bien que les intervalles de variance nécessitent les deux queues.