Calculateur du coefficient phi

Utilisez le coefficient phi lorsque vous avez une table de contingence 2×2 et que vous voulez mesurer la force d'association entre deux variables binaires. Il est équivalent au coefficient de corrélation de Pearson calculé sur deux variables dichotomiques.

Qu'est-ce que le coefficient phi ?

Le coefficient phi (φ) mesure l'association entre deux variables binaires. Il varie de -1 à +1 :

• φ = 1 : Association positive parfaite
• φ = 0 : Pas d'association
• φ = -1 : Association négative parfaite

Pour une table 2×2 :

$\phi = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}$

Relation avec le chi-carré

Phi est directement lié à la statistique chi-carré :

$\phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{n}}$

Ou de manière équivalente :

$\chi^2 = n \times \phi^2$

Cela signifie que vous pouvez facilement convertir entre phi et chi-carré.

Exemple de calcul

Données : Traitement vs Guérison

• a = 45, b = 15, c = 25, d = 35
• n = 120

$\phi = \frac{(45)(35) - (15)(25)}{\sqrt{(60)(60)(70)(50)}}$ $\phi = \frac{1575 - 375}{\sqrt{12 600 000}}$ $\phi = \frac{1200}{3550} = 0,338$

Interprétation : Association positive modérée entre le traitement et la guérison.

Interpréter les valeurs de phi

| |φ| | Interprétation | |-----|----------------| | 0,00 - 0,10 | Négligeable | | 0,10 - 0,20 | Faible | | 0,20 - 0,40 | Modérée | | 0,40 - 0,60 | Relativement forte | | 0,60 - 0,80 | Forte | | 0,80 - 1,00 | Très forte |

Ces directives sont approximatives ; le contexte compte.

Phi vs autres mesures

Pour les tables 2×2, φ = V (le V de Cramér égale phi).

Signe de phi

Contrairement au V de Cramér, phi peut être négatif :

• φ positif : Les variables tendent à avoir la même catégorie (les deux 1 ou les deux 0)
• φ négatif : Les variables tendent à avoir des catégories opposées (un 1, un 0)

Le signe dépend de la façon dont vous codez les variables.

Intervalle de confiance pour phi

Pour les grands échantillons, l'erreur standard de phi est approximativement :

$ES(\phi) \approx \frac{1}{\sqrt{n}}$

Intervalle de confiance à 95% :

$\phi \pm 1,96 \times \frac{1}{\sqrt{n}}$

Pour l'exemple ci-dessus : $0,338 \pm 1,96 \times \frac{1}{\sqrt{120}} = 0,338 \pm 0,179 = [0,159, 0,517]$

Tester la signification

Pour tester si φ ≠ 0 :

1. Calculer chi-carré : $\chi^2 = n \times \phi^2$
2. Comparer à la distribution chi-carré avec dl = 1
3. Ou utiliser la valeur p d'un test chi-carré

Pour l'exemple : $\chi^2 = 120 \times 0,338^2 = 13,7$

Avec dl = 1, p < 0,001, donc l'association est statistiquement significative.

Applications

Recherche médicale

Association entre :

• Traitement et résultat
• Facteur de risque et maladie
• Deux tests diagnostiques

Psychologie

Association entre :

• Genre et réponse
• Condition et comportement
• Deux items de sondage binaires

Éducation

Association entre :

• Méthode d'enseignement et réussite/échec
• Intervention et diplomation

Marketing

Association entre :

• Exposition publicitaire et achat
• Segment et conversion

Phi comme corrélation de Pearson

Quand les deux variables sont codées 0/1, phi égale la corrélation de Pearson :

$\phi = r_{XY}$

C'est parce que :

• La corrélation de Pearson fonctionne sur n'importe quelles données numériques
• Les variables binaires 0/1 sont numériques
• La formule de phi est algébriquement équivalente au r de Pearson pour ce cas

Phi maximum possible

Phi ne peut atteindre ±1 que si les distributions marginales sont identiques. Si les marginales diffèrent, le |φ| maximum est inférieur à 1.

Phi maximum étant donné les marginales :

$\phi_{max} = \sqrt{\frac{\min(p_1, p_2) \times \min(q_1, q_2)}{\max(p_1, p_2) \times \max(q_1, q_2)}}$

Où $p_1, q_1$ et $p_2, q_2$ sont les proportions dans chaque ligne/colonne.

Phi vs corrélation tétrachorique

Si les variables binaires sont des variables continues dichotomisées qui sont en fait normalement distribuées, la corrélation tétrachorique estime ce que la corrélation de Pearson aurait été. Phi sous-estime cette corrélation sous-jacente.

Utilisez la tétrachorique quand :

• Les variables sont vraiment continues mais mesurées comme binaires
• Vous voulez estimer la corrélation latente

Utilisez phi quand :

• Les variables sont véritablement dichotomiques
• Vous voulez l'association observée

Hypothèses

1. Deux variables binaires : Chaque variable a exactement deux catégories
2. Observations indépendantes : Chaque observation est indépendante
3. Échantillonnage aléatoire : Les données proviennent d'un échantillonnage aléatoire

Aucune hypothèse distributionnelle n'est requise.

Contexte historique

Le coefficient phi a été développé par Karl Pearson au début des années 1900 dans le cadre de ses travaux sur la corrélation. Il a étendu la corrélation produit-moment aux données binaires.

La relation avec le chi-carré a été reconnue tôt, faisant de phi une mesure naturelle de taille d'effet pour les tables 2×2.

Calculs associés

• Calculateur de V de Cramér — Pour les tables plus grandes
• Test du chi-carré — Tests de signification
• Calculateur d'odds ratio — Mesure d'effet alternative
• Corrélation de Pearson — Pour les variables continues
• Corrélation point-bisériale — Binaire vs continue

Résumé

Le coefficient phi mesure l'association entre deux variables binaires dans une table 2×2. Il varie de -1 à +1, avec le signe indiquant la direction. Phi égale la corrélation de Pearson pour les variables codées 0/1 et est lié au chi-carré par φ = √(χ²/n). Utilisez phi pour des tailles d'effet simples et interprétables dans les tables 2×2 ; utilisez le V de Cramér pour les tables plus grandes ou quand vous avez besoin d'une mesure non directionnelle.