Calculateur de distribution bêta

Modélisez les probabilités et proportions.

Exemples :
P(X ≤ x)
0.579825
Moyenne
0.285714
Mode
0.2
Écart-type
0.159719
0.00.10.10.10.20.30.30.30.40.50.50.60.60.70.70.80.80.80.90.91.000.250.50.751

Utilisations courantes

  • Prior bayésien pour probabilités/proportions
  • Modélisation de variables aléatoires bornées [0, 1]
  • Estimations d'achèvement de projet (PERT)
  • Prior conjugué pour vraisemblance binomiale
PDF de distribution bêta
f(x;α,β)=xα−1(1−x)β−1B(α,β)f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}

Qu'est-ce que la distribution bêta ?

La distribution bêta est une distribution de probabilité continue définie sur l'intervalle [0, 1], ce qui la rend idéale pour modéliser les probabilités, proportions et pourcentages. Avec deux paramètres de forme (α\alpha et β\beta), elle peut prendre une variété remarquable de formes — d'uniforme à en U à très asymétrique — ce qui en fait l'une des distributions les plus flexibles en statistique.

La distribution bêta est centrale aux statistiques bayésiennes, où elle sert d'a priori conjugué pour les proportions binomiales.

La distribution

Fonction de densité de probabilité (PDF)

f(x;α,β)=xα−1(1−x)β−1B(α,β)f(x; \alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha, \beta)}

Où B(α,β)B(\alpha, \beta) est la fonction bêta :

B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)B(\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}

Statistiques clés

  • Moyenne : μ=αα+β\mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}
  • Variance : σ2=αβ(α+β)2(α+β+1)\sigma^2 = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}
  • Mode (quand α,β>1\alpha, \beta > 1) : α−1α+β−2\frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 2}

Effets des paramètres de forme

Les paramètres α\alpha et β\beta contrôlent la forme de la distribution :

ParamètresForme
α=β=1\alpha = \beta = 1Uniforme (plate)
α=β>1\alpha = \beta > 1Symétrique, en forme de cloche
α=β<1\alpha = \beta < 1En forme de U
α>β\alpha > \betaAsymétrique à gauche (vers 1)
α<β\alpha < \betaAsymétrique à droite (vers 0)
α,β\alpha, \beta grandsConcentrée, faible variance

Applications pratiques

Inférence bayésienne pour les proportions

La distribution bêta est l'a priori conjugué pour la distribution binomiale. Si votre a priori pour une probabilité pp est Be^ta(α,β)Bêta(\alpha, \beta), et que vous observez ss succès dans nn essais, votre a posteriori est :

p∣donneˊes∼Be^ta(α+s,β+n−s)p \mid \text{données} \sim Bêta(\alpha + s, \beta + n - s)

Cette mise à jour élégante rend les modèles bêta-binomiaux computationnellement simples et interprétables.

Tests A/B

Dans les tests A/B bayésiens, les taux de conversion sont modélisés avec des distributions bêta. La probabilité que la variante A batte la variante B peut être calculée directement à partir de leurs distributions bêta a posteriori.

Gestion de projet (PERT)

La technique d'évaluation et de révision de programme (PERT) utilise des distributions bêta pour modéliser l'incertitude de la durée des tâches étant donné des estimations optimistes, les plus probables et pessimistes.

Apprentissage automatique

Les distributions bêta apparaissent dans :

  • Modélisation de sujets (l'allocation de Dirichlet latente utilise Dirichlet, une bêta multivariée)
  • Réseaux de neurones bayésiens
  • Échantillonnage de Thompson pour bandits multi-bras

Analyses sportives

Les moyennes au bâton, les pourcentages de lancers francs et autres mesures de performance bornées sont naturellement modélisés avec des distributions bêta.

Interprétation bayésienne

Pensez à α\alpha et β\beta comme des « pseudo-comptes » :

  • α−1\alpha - 1 = pseudo-succès
  • β−1\beta - 1 = pseudo-échecs

Un a priori Be^ta(1,1)Bêta(1, 1) (uniforme) représente une ignorance complète. Un a priori Be^ta(10,10)Bêta(10, 10) représente une croyance a priori centrée à 0,5 avec une confiance modérée.

Exemple : En commençant par Be^ta(1,1)Bêta(1, 1), après avoir observé 7 succès et 3 échecs, l'a posteriori est Be^ta(8,4)Bêta(8, 4) avec une moyenne 8/12=0,6678/12 = 0,667.

Relations avec d'autres distributions

Distribution uniforme

Be^ta(1,1)Bêta(1, 1) est la distribution uniforme sur [0, 1].

Connexion binomiale

Si X∼Binomial(n,p)X \sim Binomial(n, p) et p∼Be^ta(α,β)p \sim Bêta(\alpha, \beta), la distribution marginale de XX est bêta-binomiale.

Statistiques d'ordre

La kk-ième statistique d'ordre de nn échantillons uniformes [0,1] suit Be^ta(k,n−k+1)Bêta(k, n-k+1).

Connexion avec la distribution F

Si X∼Be^ta(α,β)X \sim Bêta(\alpha, \beta), alors X1−X⋅βα\frac{X}{1-X} \cdot \frac{\beta}{\alpha} suit une distribution F.

Estimation des paramètres

Étant donné des données, estimer α\alpha et β\beta en utilisant :

Méthode des moments : α^=xˉ(xˉ(1−xˉ)s2−1)\hat{\alpha} = \bar{x}\left(\frac{\bar{x}(1-\bar{x})}{s^2} - 1\right) β^=(1−xˉ)(xˉ(1−xˉ)s2−1)\hat{\beta} = (1-\bar{x})\left(\frac{\bar{x}(1-\bar{x})}{s^2} - 1\right)

Maximum de vraisemblance : Optimisation numérique de la log-vraisemblance.

Calcul des probabilités

La CDF (fonction bêta incomplète) nécessite des méthodes numériques :

F(x;α,β)=Ix(α,β)=B(x;α,β)B(α,β)F(x; \alpha, \beta) = I_x(\alpha, \beta) = \frac{B(x; \alpha, \beta)}{B(\alpha, \beta)}

Les quantiles (CDF inverse) nécessitent également une inversion numérique.

Calculs associés

Résumé

La flexibilité et la commodité mathématique de la distribution bêta la rendent indispensable pour modéliser les probabilités et les proportions. Son rôle d'a priori conjugué pour les données binomiales la rend fondamentale aux statistiques bayésiennes, permettant des solutions analytiques élégantes pour l'estimation de proportions. Que vous exécutiez des tests A/B, construisiez des modèles probabilistes ou quantifiiez l'incertitude dans des quantités bornées, la distribution bêta fournit un cadre fondé et pratique.

Outils connexes