Calculateur du test de Friedman

Utilisez le test de Friedman lorsque vous voulez comparer trois traitements ou conditions ou plus, mais que les mêmes personnes (ou sujets appariés) les expérimentent tous. Par exemple, si des patients évaluaient leur douleur après avoir essayé trois médicaments différents, ou si des juges notaient le même ensemble de produits, ce test vous indique si les conditions produisent des résultats véritablement différents — sans exiger que vos données suivent une distribution normale.

Qu'est-ce que le test de Friedman ?

Le test de Friedman est l'alternative non paramétrique à l'ANOVA à mesures répétées. Il compare trois groupes liés ou plus (mêmes sujets mesurés sous différentes conditions).

Question posée : « Les traitements/conditions ont-ils des effets différents lorsque les mêmes sujets expérimentent toutes les conditions ? »

Exemples :

• Comparer les niveaux de douleur sous 3 médicaments différents (chaque patient essaie les 3)
• Noter 4 produits par le même panel de juges
• Mesurer les performances à 5 moments pour les mêmes sujets

Comment ça fonctionne

Étape 1 : Disposer les données en blocs

Chaque sujet (bloc) expérimente toutes les conditions :

Étape 2 : Classer au sein de chaque sujet

Classez de 1 (le plus bas) à k (le plus élevé) dans chaque ligne :

Étape 3 : Somme des rangs pour chaque condition

• $R_A = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$
• $R_B = 3 + 2 + 2 + 2 = 9$
• $R_C = 2 + 3 + 3 + 3 = 11$

Étape 4 : Calculer la statistique de test

$\chi^2_F = \frac{12}{nk(k+1)} \sum_{j=1}^{k} R_j^2 - 3n(k+1)$

Où :

• n = nombre de sujets (blocs)
• k = nombre de conditions
• $R_j$ = somme des rangs pour la condition j

$\chi^2_F = \frac{12}{4 \times 3 \times 4}(16 + 81 + 121) - 3 \times 4 \times 4$

$= \frac{12}{48}(218) - 48 = 54.5 - 48 = 6.5$

Étape 5 : Déterminer la valeur p

Comparez à la distribution du chi-carré avec $k - 1$ degrés de liberté.

Pour $\chi^2_F = 6.5$, df = 2 : $p = 0.039$

Conclusion : Différence significative entre les conditions ($p = 0.039$).

Gestion des ex aequo

Lorsque les valeurs sont ex aequo au sein d'un sujet, attribuez les rangs moyens.

Appliquez la correction pour ex aequo à la statistique de test si les ex aequo sont courants.

Tests post-hoc

Un test de Friedman significatif indique qu'au moins une condition diffère, mais pas lesquelles.

Test de Nemenyi

La procédure post-hoc la plus courante :

Différence critique : $CD = q_\alpha \sqrt{\frac{k(k+1)}{6n}}$

Comparez les différences de somme de rangs par paires à CD.

Test de Conover

Alternative plus puissante utilisant la distribution t.

Tests de Wilcoxon avec Bonferroni

Effectuez des tests de Wilcoxon par paires, en ajustant α pour les comparaisons multiples.

Taille d'effet

W de Kendall (Coefficient de concordance)

$W = \frac{\chi^2_F}{n(k-1)}$

De notre exemple : $W = 6.5 / (4 \times 2) = 0.81$ (effet important)

Comparaison avec l'ANOVA à mesures répétées

Hypothèses

Groupes liés

Mêmes sujets mesurés sous toutes les conditions (ou sujets appariés).

Blocs indépendants

Les différents sujets sont indépendants les uns des autres.

Échelle ordinale (Minimum)

Les données peuvent être classées de manière significative au sein de chaque sujet.

Forme de distribution similaire

Les conditions devraient avoir des distributions de forme similaire.

Exemple : Analyse complète

Scénario : 8 juges notent 4 vins sur une échelle de 0-100.

Classement au sein de chaque juge :

Sommes de rangs : A = 8, B = 31, C = 16, D = 25

$\chi^2_F = \frac{12}{8 \times 4 \times 5}(64 + 961 + 256 + 625) - 3 \times 8 \times 5$

$= \frac{12}{160}(1906) - 120 = 142.95 - 120 = 22.95$

Valeur p : $p < 0.0001$

W de Kendall : $22.95 / (8 \times 3) = 0.96$

Conclusion : Différence très significative dans les notes de vin ($\chi^2_F = 22.95$, $p < 0.0001$). Très fort accord entre les juges ($W = 0.96$).

Applications

Recherche médicale

• Essais croisés de médicaments
• Mesures répétées avec résultats ordinaux
• Évaluations de qualité de vie dans le temps

Psychologie

• Expériences intra-sujets
• Études de notation
• Tests répétés

Évaluation sensorielle

• Tests de panels de produits
• Tests de goût
• Comparaisons de qualité

Éducation

• Performance des étudiants sur plusieurs tests
• Comparaisons d'évaluations de cours

Erreurs courantes

Utilisation pour des groupes indépendants

Friedman est pour les groupes liés. Utilisez Kruskal-Wallis pour les groupes indépendants.

Classement sur toutes les données

Les rangs doivent être attribués au sein de chaque sujet, pas sur l'ensemble des données.

Ignorer les tests post-hoc

Un résultat significatif nécessite des tests de suivi pour identifier quelles conditions diffèrent.

Petites tailles d'échantillon

Avec peu de sujets (n < 10), envisagez des valeurs p exactes plutôt que l'approximation du chi-carré.

Présentation des résultats

Format APA :

« Un test de Friedman a montré une différence significative dans les notes de vin à travers les quatre vins, χ²(3) = 22.95, p < .001, W = .96. Les tests post-hoc de Nemenyi ont indiqué que le vin B était noté significativement plus élevé que le vin A (p < .001) et le vin C (p = .02), tandis que le vin D était noté plus élevé que le vin A (p = .01). »

Contexte historique

Milton Friedman (l'économiste, à ne pas confondre avec le test) a développé ce test en 1937 dans le cadre de ses travaux sur les méthodes de rang en statistique.

Le test a étendu le concept de rang signé de Wilcoxon à plusieurs groupes liés, fournissant une alternative non paramétrique à l'ANOVA à mesures répétées.

Extensions

Test de Page

Lorsque les conditions ont un ordre prédit (par ex., réponse à la dose), le test de Page est plus puissant que celui de Friedman.

Test de Durbin

Pour les plans de blocs incomplets où tous les sujets n'expérimentent pas toutes les conditions.

Calculs associés

• ANOVA à mesures répétées — Alternative paramétrique
• Test de Kruskal-Wallis — Groupes indépendants
• Test de Wilcoxon — Deux groupes liés
• ANOVA à un facteur — Groupes indépendants, paramétrique

Résumé

Le test de Friedman compare trois groupes liés ou plus sans supposer la normalité. Classez les observations au sein de chaque sujet, sommez les rangs pour chaque condition et calculez la statistique du chi-carré. Les résultats significatifs nécessitent des tests post-hoc (Nemenyi ou Conover) pour identifier quelles conditions diffèrent. Rapportez le W de Kendall comme taille d'effet. Utilisez-le pour les mesures répétées avec des données ordinales ou lorsque la normalité est violée. Le test est robuste aux valeurs aberrantes et fonctionne avec toute forme de distribution.