Table t (t de Student)

Qu'est-ce qu'une table t ?

Une table t (aussi appelée table de distribution t de Student) affiche les valeurs critiques pour la distribution t à différents degrés de liberté et niveaux de signification. Elle est utilisée lorsque l'écart-type de la population est inconnu et doit être estimé à partir des données d'échantillon.

La distribution t a été développée par William Sealy Gosset en 1908, qui a publié sous le pseudonyme « Student » alors qu'il travaillait à la brasserie Guinness.

Quand utiliser la distribution t

Utilisez les valeurs critiques t au lieu des valeurs z lorsque :

• La taille de l'échantillon est petite (généralement n < 30)
• L'écart-type de la population est inconnu (utilisation de s de l'échantillon au lieu de σ de la population)
• Les données sont approximativement normalement distribuées

À mesure que les degrés de liberté augmentent, la distribution t se rapproche de la distribution normale standard (z).

Comment lire la table t

La table est organisée avec :

• Lignes : Degrés de liberté (ddl)
• Colonnes : Niveau de signification (α) pour les tests unilatéraux

Pour trouver la valeur critique t pour un test bilatéral à α = 0,05 avec 20 degrés de liberté :

1. Trouvez la ligne pour ddl = 20
2. Pour les tests bilatéraux, utilisez la colonne α/2 = 0,025
3. La valeur est t = 2,086

Degrés de liberté

Pour différents tests, les degrés de liberté sont calculés comme :

• Test t pour un échantillon : ddl = n - 1
• Test t pour deux échantillons indépendants : ddl = n₁ + n₂ - 2
• Test t apparié : ddl = n - 1 (nombre de paires moins 1)
• Test t de Welch : Utilise l'approximation de Welch-Satterthwaite

Applications courantes

Test t pour un échantillon

Tester si une moyenne d'échantillon diffère d'une valeur hypothétique :

$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$

Test t pour deux échantillons

Comparer les moyennes de deux groupes indépendants :

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$

Intervalles de confiance

Pour un IC à 95 % avec ddl = 15 : t* = 2,131

$IC = \bar{x} \pm t^* \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

t vs. z : Une comparaison

La distribution t a des queues plus épaisses que la distribution normale, ce qui tient compte de l'incertitude supplémentaire liée à l'estimation de l'écart-type.

Note historique

Gosset a développé la distribution t en travaillant sur le contrôle qualité à la brasserie Guinness. L'entreprise interdisait aux employés de publier, il a donc utilisé le nom de plume « Student ». Ronald Fisher a ensuite élargi le travail et introduit la terminologie que nous utilisons aujourd'hui.

Outils associés

• Calculateur de test t pour un échantillon — Effectuer le test
• Calculateur de test t pour deux échantillons — Comparer deux moyennes
• Calculateur de valeur critique t — Obtenir des valeurs critiques exactes
• Calculateur de distribution t — Trouver les probabilités
• Calculateur d'intervalle de confiance — Construire des intervalles

Résumé

La table t fournit des valeurs critiques pour les tests d'hypothèses et la construction d'intervalles de confiance lors du travail avec des données d'échantillon. Contrairement à la table z, la table t tient compte de l'incertitude supplémentaire liée à l'estimation de la variance de la population à partir d'un échantillon. À mesure que la taille de l'échantillon augmente, les valeurs critiques t convergent vers les valeurs z, mais pour les petits échantillons, utiliser la valeur critique t correcte est essentiel pour une inférence précise.